3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离知识导图学法指导1.体会用代数的方法求两条直线的交点坐标．2．通过平面内两点间的距离解决一些实际中的最值问题，并体会用坐标法证明一些几何问题的步骤．高考导航1.利用代数的方法求两条直线的交点坐标是常考知识点，常以选择题的形式出现，分值5分．2．利用公式求两点间的距离、处理简单的几何问题是常考知识点，以选择题或解答题的形式出现，分值4～6分.知识点一 两条直线的交点坐标1．两条直线的交点直线方程：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0前提条件：两直线组成的方程组有唯一解结论：两直线相交，交点坐标为(x0，y0)．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点个数直线的位置关系无解0个平行有唯一解1个相交有无数组解无数个重合知识点二 两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|＝-11-
特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|＝1．此公式与两点的先后顺序无关．2．当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为a－b.( )(2)不论m取何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( )答案：(1)× (2)×2．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是( )A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2)D．(1,2)解析：解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(0,2)．答案：C3．下列直线与直线x＋y＝0相交的是( )A．y＝－x＋3B．－x－y＋＝0C．x－y＋2＝0D．2x＋2y－5＝0解析：A，B，D选项中的直线均与x＋y＝0平行，只有C选项中的直线与x＋y＝0相交．答案：C4．[2019·河北衡水校级月考]已知两点A(2，m)与点B(m,1)之间的距离等于，则实数m＝( )A．－1B．4C．－1或4D．－4或1解析：∵|AB|＝＝，∴m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4.答案：C-11-
类型一 两条直线的交点问题例1 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.【解析】 (1)解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标是.(2)①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2.(3)①×2得6x＋8y－10＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合.联立所给的直线方程得方程组，然后确定其解的个数，从而确定两直线的位置关系．方法归纳两条直线位置关系的判断方法将两条直线方程联立，相当于解一个二元一次方程组，如果有唯一解，说明两条直线相交；如果有无数解，说明两直线重合；如果无解，说明两直线平行．跟踪训练1 两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点坐标为________．解析：解方程组得故两直线的交点坐标为(－2,2)．答案：(－2,2)联立两条直线的方程解方程组，求得交点的坐标．类型二 两点间距离公式的应用例2 已知三个点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.【解析】 ∵|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.已知三角形三个顶点的坐标，利用平面上两点间的距离公式求出三边的长，再由三边长进一步判断△ABC的形状．-11-
方法归纳1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．跟踪训练2 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．解析：方法一 设点P坐标为(x，y)，由点P在l上和点P到点A，B的距离相等建立方程组，得解得所以点P的坐标为(0,1)．方法二 由题意知，线段AB的中点M的坐标为，AB所在直线的斜率为kAB＝＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为－1，其方程为y－＝－，即x＋y－1＝0 ①.设P(x，y)，则3x－y＋1＝0 ②.由①②组成的方程组为解得所以所求的点为P(0,1)．根据题意可以判定点P在AB的垂直平分线上，又点P在l：3x－y＋1＝0上，所以联立方程即可解此题．类型三 直线过定点问题例3 求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点．【解析】 方法一 当m＝1时，直线方程为y＝－4；当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．方法二 ∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，则无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点．解方程组得即交点为(9，－4)．-11-
∴不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4).思路一 对参数赋予特殊值→联立方程得交点坐标→代回原方程证明此交点即所求定点思路二 将方程变形为m(A1x＋B1y＋C1)＋(A2x＋B2y＋C2)＝0→令A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0→联立方程得所求定点方法归纳(1)分别令参数为两个特殊值得方程并联立得到方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．(2)在解决恒过定点问题时，一般是将直线方程整理为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．跟踪训练3 无论a为何实数值，直线(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0必过定点________．解析：原方程可化为x－2y＋5＋a(2x＋3y－18)＝0，它表示过直线x－2y＋5＝0与直线2x＋3y－18＝0交点的直线系(不包括直线2x＋3y－18＝0)，无论a取何值它都过两直线的交点，由解得所以直线必过定点(3,4)．答案：(3,4)分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零得方程组，方程组的解即为所求定点的坐标．类型四 对称问题例4 △ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，则点C的坐标为________．【解析】 把A，B两点的坐标分别代入y＝2x知，点A，B都不在直线y＝2x上，∴直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线．设点A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(a，b)，则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，则解得即A′(4，－2)．∵直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线，-11-
∴A′在直线BC上，∴直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0.由解得∴点C的坐标为(2,4)．【答案】 (2,4)确定直线y＝2x为角C的平分线所在直线→直线CA与CB关于直线y＝2x对称→求点A关于直线y＝2x的对称点坐标→求直线CB的方程→求交点C的坐标．方法归纳有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称：①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练4 已知直线l：y＝3x＋3，则直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为______________．解析：设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l′，则l∥l′，可设l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)．取直线l上一点E(0,3)，该点关于点A的对称点为E′(6,1)，则E′在直线l′上，所以1＝18＋b，即b＝－17.所以直线l′的方程为y＝3x－17，即直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为3x－y－17＝0.答案：3x－y－17＝0设出所求直线方程→在直线l上取一点E(0,3)→求点E关于点A的对称点E′的坐标→由E′在所求直线上求出直线方程.-11-
[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线3x＋y－5＝0与x＋y－1＝0的交点是( )A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－2，－1)解析：由得答案：A2．若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为( )A．4B．－2C．－4或2D．4或－2解析：由已知得|AB|＝＝5，因此|1－m|＝3，解得m＝4或m＝－2.答案：D3．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为( )A．3x＋2y＋7＝0B．3x＋2y－7＝0C．－3x＋2y－7＝0D．－3x＋2y＋7＝0解析：由题知，与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0，故选B.答案：B4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )A．6B.C．2D．不能确定解析：由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝＝＝.答案：B5．无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为( )A．(－1,3)B.-11-
C.D.解析：直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0整理为m(3x＋y)－n(x－2y＋1)＝0，解方程组得交点坐标为.因此无论m，n取何实数直线必经过点.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知A(a,3)，B(－2,5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．解析：依题意及两点间的距离公式，得＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2.答案：3或－27．已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是，所以点在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4.答案：－48．[2019·山西省检测]点A(－3,1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则|AC|＝________.解析：由已知得＝－3，解得y＝－7，即C(1，－7)，∴|AC|＝＝4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解析：设所求点为P(x,0)，于是有|PA|＝＝，|PB|＝＝，由|PA|＝|PB|，得＝，解得x＝1，所以|PA|＝＝2.10．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y-11-
－1＝0平行的直线l的方程；(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．解析：(1)由，解得，所以交点为.因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率为－3，所以直线l的方程为y＋＝－3，15x＋5y＋16＝0.(2)法一：解方程组得P(0,2)．因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.[能力提升](20分钟，40分)11．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0解析：设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.故选D.答案：D12．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.答案：-11-
13．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.(1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值；(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值．解析：(1)∵直线l1，l2，l3交于一点，∴l1与l2不平行，∴m≠4.由，得即l1与l2的交点为代入l3的方程，得－3m·－4＝0，解得m＝－1或.(2)若l1，l2，l3交于一点，则m＝－1或；若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则不存在满足条件的实数m.综上，可得m＝－1或或4或－.14．一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．解析：取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，则解得∴B(3,5)．由解得∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，该直线的方程为y－4＝(x－1)，整理得x－2y＋7＝0.故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.-11-
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