2018版高中数学苏教版必修二学案：2.1.4　两条直线的交点

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案2.1.4 两条直线的交点学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问题.知识点 直线的交点与直线的方程组解的关系思考1 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？ 思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？ 思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？  梳理 (1)两直线的交点几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线l1l1：A1x＋B1y＋C1＝0点A在直线l1上直线l1与l2的交点是A(2)两直线的位置关系6 2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案方程组的解一组无数组直线l1，l2的公共点个数一个零个直线l1，l2的位置关系重合类型一 两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.  反思与感悟 两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练1 直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是________.命题角度2 根据交点求参数的值或其范围引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？例2 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________.反思与感悟 求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围.跟踪训练2 若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是__________.类型二 求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.引申探究6 2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.  反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.跟踪训练3 直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为______________.类型三 直线恒过定点问题例4 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.  反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0).跟踪训练4 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是_____.1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是__________.2.已知直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________.3.不论m取什么实数，直线mx＋y－m＝0都过定点的坐标为________.4.下列各组直线中，两直线相交的为________.(填序号)①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.6 2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案5.直线l过直线2x－y＋4＝0与x－3y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0，则直线l的方程是________.1.方程组有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.2.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线.6 2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案答案精析问题导学知识点 思考1 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3 (1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理 (1)A1a＋B1b＋C1＝0(2)无解 无数个 相交 平行题型探究例1 解 (1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合．(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.跟踪训练1 (1,2)例2 (－，2)引申探究解 由例2得交点坐标为(，)，则由得a