2016新课标三维人教a版数学必修2 3.3 直线的交点坐标与距离公式

2016新课标三维人教A版数学必修23.3直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3．3.1&3.3.2两直线的交点坐标、两点间的距离1．两直线的交点坐标(1)两直线的交点坐标：[新知初探](2)两直线的位置关系版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn2．两点间距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝?x2－x1?＋?y2－y1?.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[点睛](1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|x＋y.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为a－b()(2)不论m取何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交()答案：(1)×(2)×————————————————————————————————————————————————————— 2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5解析：选C∵|AB|＝?a＋2?＋?3＋1?＝5，∴a＝－5或a＝1.3．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________．k解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝3k0代入x－ky＋12＝0，解得k＝±将?6.?3答案：±6[典例]求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．?2x－y＋2＝0，?x＝－1，???[解]法一：(点斜式法)解方程组得?所以两直线的交点坐???x＋y＋1＝0，?y＝0，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.法二：(分离参数法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0①，λ＋21又直线l的斜率为3，所以－3，解得λ＝，4λ－1————————————————————————————————————————————————————— 1将λ3x－y＋3＝0.4[活学活用]三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．?4x＋y＝14，?x＝4，???解：解方程组得???2x－3y＝14，??y＝－2，所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋73＝0，解得a＝－4[典例](1)已知点A(－3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为72，求x的值．[解](1)设点P的坐标为(x,0)，则有|PA|＝|PB|＝?x＋3?＋?0－4?＝?x－2?2＋?0－3?2＝x＋6x＋25，x－4x＋7.由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－59－，0?.故所求点P的坐标为??5?|PA|＝?93?2＋?0－4?22109?5?5————————————————————————————————————————————————————— 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn(2)由|MN|＝2，得|MN|＝?x－2?＋?－4－3?＝72，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.[活学活用]已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵|AB|＝|AC|＝|BC|＝?－4＋2?＋?－3＋1?＝2，?0＋2?＋?－5＋1?＝5，?0＋4?＋?－5＋3?＝5，∴|AC|＝|BC|.又∵点A，B，C不共线，∴△ABC是等腰三角形.[典例]求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．[证明]法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，故l1与l2的交点为P(－3,3)．————————————————————————————————————————————————————— 将点P(－3,3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．???2x＋y＋3＝0，?x＝－3，由方程组?得??x－y＋6＝0???y＝3.版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．[活学活用]已知直线λ：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．13x－，解：(1)证明：直线l的方程可化为y－a?5?513所以不论a取何值，直线l恒过定点A??5，5，又点A在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限．(2)令x＝0，y＝3－a53－a≤0，解得a≥3.5————————————————————————————————————————————————————— 所以a的取值范围为[3，＋∞).1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.题点二：点关于线对称2．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是()A．(－2,1)C．(2，－5)解析：选B设对称点坐标为(a，b)，a－3b＋4??222＝0，?b－4??a＋31，B．(－2,5)D．(4，－3)??a＝－2，解得?即Q(－2,5)．?b＝5，?题点三：线关于点对称3．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()A．3x－2y＋2＝0————————————————————————————————————————————————————— C．3x－2y－12＝0B．2x＋3y＋7＝0D．2x＋3y＋8＝0解析：选D由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.题点四：线关于线对称4．求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．解：在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则a＋2?b＋0?2×?－3×????2??2?＋1＝0，?b－02??a－23＝－1.630?解得M′??1313?.??2x－3y＋1＝0，设直线m与直线l的交点为N，则由?得N(4,3)．?3x－2y－6＝0.?又∵m′经过点N(4,3)，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.题点五：距离和(差)最值问题————————————————————————————————————————————————————— 5．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．解：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，n－0??m－22，则?m＋2n＋0－＋8＝0，??22?m＝－2，?解得?故A′(－2,8)．?n＝8，?因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，???x＝－2，?x＝－2，解?得???x－2y＋8＝0，y＝3，??故所求的点P的坐标为(－2,3)．(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，?y＝x－2，?x＝12，??解?得???x－2y＋8＝0，y＝10，??故所求的点P的坐标为(12,10)．版权所有:中国好课堂————————————————————————————————————————————————————— www.zghkt.cn层级一学业水平达标1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()A．(4,1)41?C.??33??x＋2y－2＝0，?解析：选C由方程组?得??2x＋y－3＝0，B．(1,4)14D.33??1?y＝3.4x＝，3即直线x＋2y－2＝0与直线2x41?＋y－3＝0的交点坐标是33?.2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6C．2解析：选B由kAB＝1，得∴b－a＝1.∴|AB|＝?5－4?＋?b－a?1＋12.b－a1，1B.2D．不能确定3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线()A．恒过定点(－2,3)B．恒过定点(2,3)C．恒过点(－2,3)和点(2,3)D．都是平行直线解析：选A(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，————————————————————————————————————————————————————— ???－x－y＋1＝0，?x＝－2，?由得??x＋2＝0，???y＝3.4．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．2B．4版权所有:中国好课堂www.zghkt.cnC．5D.17x－25－3解析：选D根据中点坐标公式得到1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P22的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝?4－0?＋?1－0?17.5．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A．3x－y－8＝0C．3x－y＋6＝0解析：选B设P(x，y)，则?x－1?＋?y－3?＝?x＋5?＋?y－1?，即3x＋y＋4＝0.6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．b－5?－1?＝－1，??a－2解析：设对称点坐标是(a，b)，则?a＋2b＋5??221.求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)————————————————————————————————————————————————————— 7．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．??2x－3y－3＝0，解析：由方程组?得??x＋y＋2＝0，B．3x＋y＋4＝0D．3x＋y＋2＝0解得a＝－4，b＝－1，即所??7?y＝－5.3x＝－，51又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝3371x＋?，∴直线方程为y＋?53?5?即5x－15y－18＝0.答案：5x－15y－18＝08．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即?a＋2?＋?a＋4＋4?＝?a－4?＋?a＋4－6?，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn353－，?.解得a＝－P点的坐标是??22?235－?答案：??22?9．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，————————————————————————————————————————————————————— D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.y－6x－1故BC所在的直线方程为6＋41＋2即10x－3y＋8＝0.10．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，满足下列条件：(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.解：(1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0,2m＋m－1＝0，解得m173＝n＝－39(2)显然m≠0.∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，m2????－8m，?m＝4，?m＝－4，∴?解得?或???n＝－4，n＝20.????3m－8＋n＝0，(3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.当m＝0时，l1的方程为8y＋n＝0，l2的方程为2x－1＝0.∴－8＋n＝0，解得n＝8.∴m＝0，n＝8.而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知，m＝0，n＝8.层级二应试能力达标1．直线l：x＋2y－1＝0关于点(1，－1)对称的直线l′的方程为————————————————————————————————————————————————————— ()A．2x－y－5＝0C．x＋2y＋3＝0B．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0解析：选C由题意得l′∥l，故设l′：x＋2y＋c＝0，在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1，－1)的对称点是A′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c＝0，即c＝3，故直线l′的方程为x＋2y＋3＝0，故选C.版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn2．已知平面上两点A(x，2－x)，BA．3C．2解析：选D∵|AB|时等号成立，∴|AB|min＝23．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为()A．(1,3)C．(3,1)B．(－1,3)D．(3，－1)2，0?，则|AB|的最小值为()2?1B.31D.2?x－22＋2－x?22??32?2＋1≥1当且仅当x＝322x－44?42?解析：选D直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0————————————————————————————————————————————————————— ?2x＋y－5＝0，?x＝3，??和直线x－y－4＝0的交点．由?解得?因此所求定点为(3，－1)．故??x－y－4＝0，y＝－1.??选D.4．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是()A．(1，－1)1313?C.?5??5B．(－1,1)D．(－2,2)解析：选C点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－x＋y＝0联立方程组并解得44??13?y＝－5，13x＝，51313?.所以点P5?55．若两直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0与x轴围成三角形，则实数m的取值范围是________．解析：当直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0及x轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m＝－2时，(m＋2)x－y－m＝0与x————————————————————————————————————————————————————— 轴平行；当m＝－3时，(m＋2)x－y－m＝0与x＋y＝0平行；当m＝0时，三条直线都过原点，所以m的取值范围为{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}．答案：{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}6．若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．解析：法一：由题意知直线l过定点P(0，－3)，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn直线2x＋3y－6＝0与x，y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,2)，如图所示，要使两直线的交点在第一象限，则直线l在直线AP与BP之间，而kAP＝－3－033，∴k.330－3?y＝kx－3，法二：解方程组??2x＋3y－6＝0，33＋6?x?3k＋2得?6k－23y＝??3k＋233＋66k－3由题意知x＝且y＝>0.3k＋23k＋2由33＋6>0可得3k＋2>0，3k＋23.3∴6k－3>0，解得k>答案：3，＋∞?3?7．已知△ABC的一个顶点A(2，－4)，且∠B，∠C的角平分线所在直线的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．————————————————————————————————————————————————————— 解：如图，BE，CF分别为∠B，∠C的角平分线，由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点A′，A″均在直线BC上．∵直线BE的方程为x＋y－2＝0，∴A′(6,0)．24∵直线CF的方程为x－3y－6＝0，∴A″??55.40－5∴直线A′A″的方程是y＝(x－6)，26－5即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程．?x＋7y－6＝0，?42?，由?得B?33????x＋y－2＝0，??x＋7y－6＝0，由?得C(6,0)，?x－3y－6＝0，?∴AB所在直线的方程是7x＋y－10＝0，AC所在直线方程是x－y－6＝0.8．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(01)，222版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn∴b2＝9，b＝±3.又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.22bb－1×4，22层级二应试能力达标1．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4C.10————————————————————————————————————————————————————— 4B.102010D.20解析：选D∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝01710可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝，选D.2203＋12．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是()A．0＜d≤3C．0＜d＜4B．0＜d≤5D．3≤d≤5?1＋3??2?解析：选B当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0＜d≤5.1?110，B?，3?及直线x＝－3．如果点P到点A2??2?2P有()A．0个C．2个B．1个D．无数个1?10，B?3?的距离相等，所以点P在线段AB的垂解析：选B因为点P到点A2??2?|AB|331直平分线y直线AB与直线x＝－且两平行线间的距离为1.又1