两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移・知识梳理1.设A(刀,y。,B(x2,y2),则AB=(X2—xi,y2—y。.，|AB|二J(x2玉)2(y2y02.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1,P,P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于R,P2的直线PiP2上的点；（2）实数入是P分有向线段P1P2所成的比，即P-P,AP2的顺x〔x2x,序,不能搞错；（3）定比分点的坐标公式OP1+——OP2（O为平面内任一点）（入W—1）.y1y2yn3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,xh,yk.特别提示1.定比分点的定义：点P为P1P2所成的比为入，用数学符号表达即为PF=入PP2.当人＞0时，P为内分点；入＜0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式:
1P点分P1P2成的比为入，则op=—13.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题・点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1,0）变为（2,2）,则平移后的图象的解析式为(x+1)-2=f(x—1)-2=f(x—1)+2=f(x+1)+2解析：由平移公式得a=（1,2）,则平移后的图象的解析式为y=f（x—1）+2.
答案：C2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2—4y=4x,则向量a为A.(—1,2)B.(1,—2)C.(—4,2)D.(4,—2)解析：设a=(h,k),由平移公式得xxhxxh,yykyyk,代入y2=4x得(y—k)2=4(x—h),y2—2ky=4x—4h-k2,即y2—2ky=4x—4h—k2,1-k=2,h=—1.••a=(—1,2).答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗提示：由y2-4y=4x,配方得(y-2)2=4(x+1),•.h=-1,k=2.(知道为什么吗)A.3C.-38解析：设A点分BC所得的比为入，则由2=3.设A、BC三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A点分BC所得的比为B.-83D.-335-^,得入18答案：C4.若点P分AB所成的比是入（入w0）,则点A分BP所成的比是
解析：AP=XPB,AP=X(-AP+AB).(1+入)AP=XAB.AB=1AP..•.BA=-1-AP.答案：—15.（理）若^ABC勺三边的中点坐标为（2,1）、（一3,4）、（一1,—1）,则△ABC勺重心坐标为解析：设A（xi,yi）B(X2,C(X3,y3),x1x22y〔y22x〔x3则2y〔y32x2x32V2y322,1,3,4,X1yiX2V2x32V34「•重心坐标为答案：（—-3（文）已知点1,1.M(6,2)和M(17）,直线y=mx-7与线段MM的交点M分有向线段M1M2的比为3：2,则m的值为解析：设M（x,y),则6x=-132=15=335227y=10232=^4—21=5,即M(3,5),代入5y=mx—7得5=3m-7,m=4.答案：4・典例剖析【例1】已知点6)和B(30）,在直线AB上求一点P,使|AP|二」|AB|.3剖析：|AP|=^|AB|,3则靠=3AB或AP=°BA.设出P（x,y）,向量转化为坐标
运算即可.解：设P的坐标为(x,y),若而=1AB,则由(x+1,y—6)=1(4,—6),得3341x1了解得x3，y62.y4.此时P点坐标为（2,4）.3若AP=-1AB,则由（x+1,y-63d47x13'解得x§，y62.y8.・•.P（—7,8）.综上所述，P（1,33深化拓展=——（4,一6）得3本题亦可转化为定比分点处理.由AP入=1,代入公式即可；若ap=-1AB234)或(-7,8).3=1AB,得AP」PB,则p为NB的定比分点，32,则晶=—1PB,则p为AB的定比分点，入4由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法【例2】已知△ABC勺三个顶点坐标分别是A(4,1),B(3,4),C(—1,2),BD是/ABC勺平分线，求点D的坐标及BD的长.剖析：:A、C两点坐标为已知，，要求点D的坐标，只要能求出D分AC所成的比即可.解：•・•|BC=2j5,|AB=/0,，D分AC所成的比入=但些上2DCBC2由定比分点坐标公式，得xd95-2,yD1221一2
，D点坐标为(9-5^2,J2)|BD=3(95呢③2(豆4)2=,10468年.评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化^深化拓展本题也可用如下解法：设D(x,y),•••BD是/ABC勺平分线，=.BABDBCBD-；-；—,|BA||BD||BC||BD|即BABD=BCBD|BA||BC|又BA=(1,—3),BD=(x-3,y-4),BC=(—4,—2),,x33y124x122y8二”10.20(4+V2)x+(2—372)y+972—20=0.又a、DC三点共线，，Ad,ac共线.又AD=(x—4,y—1),AC=(x+1,y—2),(x—4)(y—2)=(x+1)(y—1)由①②可解得x95.2,y2.・•.D点坐标为(9—5，2,J2),|BD=由0468历.思考讨论若BD是AC边上的高，或BDffi△ABO成面积相等的两部分，本题又如何求解请读者思考.【例3】已知在DABCDK点A(1,1),B(2,3),CD的中点为E(4,1),将□ABC强向量a平移，使C点移到原点O
(1)求向量a；(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标解：(1)由DABCDT彳#AB=DC,设C(x3,y3),D(x4,y4),…x3x41,则34y3V42.又CD勺中点为E(4,1),X3X4,4,则2^41.④(2)由平移公式得A・闯关训练夯实基础7-2B1),C'(0,0),D1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sinx按向量a=,3)平移后的函数解析4式为=sin(x--)+3=sin/兀、(X+-)+3=sin(x-—)-3=sin(x+—)—3解析:h得k,兀4，3.y—3=sin兀、+-).297由①一④得x3-，2x42y32,V40,即C(9,2),D(7,0).22.・/兀••y=sin(x+—)+3,即y=sin(x+—)+3.
答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+」）3+1的图象，则a等于A.(-1,DB.(―：1)C.(：,-1)D.(：,1)解析：由y=2sin(2x+—)+1得y=2sin2(x+—)+1,，a=(—三，1)答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0,—1）,若点M分PA所成的比为2,则点M的轨迹方程是,它的焦点坐标是解析：设P(xc,y°),M(x,y)
x。x一3Vo2xVo3x,3y代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1,即18x2=3y+1,x2=-y+—=-26186(y+-),1.p=—,焦点坐标为(0,—工)31224答案：x2=1(y+1)(0,—二)63244.把函数y=2x2—4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且a±b）,c=（1,-1）,b-c=4,贝Ub=解析：a=(0,0)—(1,3)=(—1,—3).设b=(x,y),由题意得x3y0,x3,xy4,y1,则b=(3,—1).答案：(3,—1)5.已知向量OA=(3,1),OB=(—1,2),OC±OB,BC//OA.试求?t足OD+OA=OC的OD的坐标.解：设OD=(x,y),贝UOC=(x,y)+(3,1)=(x+3,y+1),
BC=OC—OB=(x+3,y+1)—(—1)2)=(x+4)y—1))则(x3)2(y1)0,、(x4)3(y1)0.…x11—所以OD=(11,6).y6，''6.已知A(2,3),B(—1,5),且满足AC=1AB,AD=3AB,AE=—1AB,求C34.C(1,U),D(-7,9),3口E的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解E(曹5).42培养能力7.(2004年福建，17)设函数f(x)=a•b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,$/3sin2x),xCR(1)若f(x)=1—、回，且xC求x;(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(m^n)(|mv5)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数mn的值.解：(1)依题设f(x)=2cos2x+43sin2x=1+2sin(2x+—),由1+2sin(2x+—)=1-q3,得—./c,兀、3362>>II/兀>兀/C_L兀75兀•|x|
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