5.3两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理1.设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.∴||=.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，特别提示1.定比分点的定义：点P为所成的比为λ，用数学符号表达即为=λ.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式：P点分成的比为λ，则=+（O为平面内任一点）.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y=f（x+1）－2B.y=f（x－1）－2C.y=f（x－1）+2D.y=f（x+1）+2解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a=（h，k），由平移公式得
代入y2=4x得（－k）2=4（－h），2－2k=4－4h－k2，即y2－2ky=4x－4h－k2，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为A.B.C.－D.－解析：设A点分所得的比为λ，则由2=，得λ=－.答案：C4.若点P分所成的比是λ（λ≠0），则点A分所成的比是____________.解析：∵=λ，∴=λ（－+）.∴（1+λ）=λ.∴=.∴=－.答案：－5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则∴
∴重心坐标为（－，）.答案：（－，）（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2，则m的值为____________.解析：设M（x，y），则x===3，y===5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4●典例剖析【例1】已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使||=||.剖析：||=||，则=或=.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.解：设P的坐标为（x，y），若=，则由（x+1，y－6）=（4，－6），得解得此时P点坐标为（，4）.若=－，则由（x+1，y－6）=－（4，－6）得解得∴P（－，8）.综上所述，P（，4）或（－，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，λ=，代入公式即可；若=－，则=－，则P为的定比分点，λ=－.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.
剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分所成的比即可.解：∵|BC|=2，|AB|=，∴D分所成的比λ=.由定比分点坐标公式，得∴D点坐标为（9－5，）.∴|BD|==.评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线，∴〈，〉=〈，〉.∴，即=.又=（1，－3），=（x－3，y－4），=（－4，－2），∴=.∴（4+）x+（2－3）y+9－20=0.①又A、D、C三点共线，∴，共线.又=（x－4，y－1），=（x+1，y－2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.②由①②可解得
∴D点坐标为（9－5，），|BD|=.思考讨论若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.（1）求向量a；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD可得=，设C（x3，y3），D（x4，y4），则又CD的中点为E（4，1），则由①－④得即C（，2），D（，0）.∴a=（－，－2）.（2）由平移公式得A′（－，－1），B′（－，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx按向量a=（－，3）平移后的函数解析式为A.y=sin（x－）+3B.y=sin（x－）－3C.y=sin（x+）+3D.y=sin（x+）－3解析：由得∴－3=sin（+）.
∴=sin（+）+3，即y=sin（x+）+3.答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，则a等于A.（－，1）B.（－，1）C.（，－1）D.（，1）解析：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）.答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P（x0，y0），M（x，y）.代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=y+=（y+），∴p=，焦点坐标为（0，－）.答案：x2=（y+）（0，－）4.把函数y=2x2－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，则b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x，y），由题意得则b=（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的的坐标.解：设=（x，y），则=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），=－=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），
则所以=（11，6）.6.已知A（2，3），B（－1，5），且满足=，=3，=－，求C、D、E的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，），D（－7，9），E（，）.培养能力7.（2004年福建，17）设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1－，且x∈［－，］，求x；（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.解：（1）依题设f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由1+2sin（2x+）=1－，得sin（2x+）=－.∵|x|≤，∴－≤2x+≤.∴2x+=－，即x=－.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.又|m|＜，∴m=－，n=1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，
即+y2=1.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上，则即消去x22得，2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2，即y2=.∵－1≤y2≤1，∴－1≤≤1.又∵λ＞0，故解得λ≥.故λ的取值范围为［，+∞）.思考讨论本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15nmile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40nmile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan）的方向作匀速直线航行，速度为10nmile/h.（如下图所示）（1）求出发后3h两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由θ=arctan，可得cosθ=，sinθ=，x2=10tsinθ=10t，y2=10tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ|===5，即两船出发后3h时，两船相距5nmile.（2）由（1）的解法过程易知|PQ|====≥20.∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20，即两船出发4h时，相距20nmile为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.1.线段的定比分点公式=λ，该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标，并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.
拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－sin2A－cos2B+2.（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；（2）当A+B=且A、B∈R时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A－）2+（cos2B－）2+1，由题意得∴C=或C=.（2）∵A+B=，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.∴f（A，B）=cos2A－sin2A+3=2cos（2A+）+3=2cos2（A+）+3.从而p=（，－3）（只要写出一个符合条件的向量p即可）.
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