4.3.2空间两点间的距离公式
问题提出1.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么?2.在空间直角坐标系中,若已知两个点的坐标,则这两点之间的距离是惟一确定的,我们希望有一个求两点间距离的计算公式,对此,我们从理论上进行探究.
空间两点间的距离公式
知识探究(一):与坐标原点的距离公式思考1:在空间直角坐标系中,坐标轴上的点A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z),与坐标原点O的距离分别是什么?xyzOABC|OA|=|x||OB|=|y||OC|=|z|
思考2:在空间直角坐标系中,坐标平面上的点A(x,y,0),B(0,y,z),C(x,0,z),与坐标原点O的距离分别是什么?xyzOABC
思考3:在空间直角坐标系中,设点P(x,y,z)在xOy平面上的射影为M,则点M的坐标是什么?|PM|,|OM|的值分别是什么?xyzOPMM(x,y,0)|PM|=|z|
思考4:基于上述分析,你能得到点P(x,y,z)与坐标原点O的距离公式吗?xyzOPM
思考5:在空间直角坐标系中,方程x2+y2+z2=r2(r>0为常数)表示什么图形是什么?OxyzP
知识探究(二):空间两点间的距离公式在空间中,设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.xyzOP2MP1N思考1:点M、N之间的距离如何?
思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面,则点P1、P2之间的距离如何?xyzOP2P1|P1P2|=|z1-z2|
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面,则点P1、P2之间的距离如何?MNxyzOP2P1
思考4:若直线P1P2是xOy平面的一条斜线,则点P1、P2的距离如何计算?MNxyzOP2P1A思考5:在上述图形背景下,点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离是它对任意两点P1、P2都成立吗?
例1在空间中,已知点A(1,0,-1),B(4,3,-1),求A、B两点之间的距离.理论迁移例2已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2),点P在z轴上,若|PA|=|PB|,求点P的坐标.
例3如图,点P、Q分别在棱长为1的正方体的对角线AB和棱CD上运动,求P、Q两点间的距离的最小值,并指出此时P、Q两点的位置.OxyzABCPQDMN
作业:P138练习:1,2,3,4.