高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

4．3.2空间两点间的距离公式1．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．2．掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．空间两点间的距离公式空间中点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离是|P1P2|＝______________.空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例．【做一做】空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是()A．243B．221C．9D.86答案：x－x22＋y－y2＋z－z211212【做一做】D空间两点间距离公式的推导方法剖析：(1)先看简单的情形：设空间直角坐标系中点P(x，y，z)，求点P到原点O的距离．如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B，则点B的坐标是(x，y,0)．在xOy平面上22有|OB|＝x＋y.在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得|OP|＝|OB|2＋|BP|2.因为|BP|＝|z|，所以|OP|＝x2＋y2＋z2. 这说明在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点之间的距离是|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)下面再看一般的情况：如图所示，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间任意两点，且两点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为(x1，y1,2，y2,．0)，(x0)在xOy平面上，|MN|＝x1－x22＋y1－y22.过点P1作P2N的垂线，垂足为H，则|MP1|＝|z1|，|NP2|＝|z2|，所以|HP2|＝|z1－z2|.在直角三角形P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.因此空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离公式可以表示成下面形式：|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.题型一：求空间中两点间的距离【例1】在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，点N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．反思：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于 建立适当的空间直角坐标系，以确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．题型二：两点间距离公式的应用【例2】点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是________．反思：空间两点间距离公式是本小节的重点，也是将来在选修模块中继续学习空间直角坐标系的基础．本题应用两点间距离公式列出方程求得点P的坐标，体现了两点间距离公式的应用．答案：【例1】解：如图，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)．∵|DD1|＝|CC1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．∵N为CD1的中点，3∴点N的坐标为2，3，1.∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点，∴点M的坐标为(1,1,2)．由两点间距离公式，得322221|MN|＝2－1＋3－1＋1－2＝2. 即M，N两点间的距离为212.【例2】(1,0,0)或(－1,0,0)1．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.2．已知点A(1，－2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1.则A，A1两点间的距离为__________．3．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是__________．4．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，已知|AB|＝3，|BC|＝2，|AA1|＝2，用空间两点间的距离公式求对角线B1D的长．5．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|的最小值．答案：1．－5或72.23.(0，－7，0)64．解：∵D(0,0,0)，B1(2,3,2)，∴|B1D|＝223222＝17.5．解：|AB|＝x122x)2(3x3)2(3825≥35＝14x232x1914x.777当x＝8时，|AB|最小，最小值为35.77