3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.2两点间的距离【教材导读】一、情景导入已知平面上点A（1,3），你能求出A点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？二、教材导读1.两点间距离公式的推导已知平面上点A（1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形，由勾股定理可求得A点与原点O之间的距离：那么已知平面上任意两点，，是否能用相同方法求得的距离呢？阅读教材P104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程.2.两点间的距离公式平面上两点，间的距离公式：由公式可知，原点与任一点的距离；3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模也得到了两点间的距离公式：平面上两点，，则：（1）（2）注意比较两种情形下推证方法.4.沙尔定理:设A、B是轴上任意一条有向线段，O是原点，OA=，OB=，那么有：于是显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的直线上的有向线段也符合沙尔定理.由此我们理解两点间距离公式的特例：（1）当轴时，，；（2）当轴时，，.请完成自主评价1【课堂点金】一、重难点突破1.熟悉两点间距离公式例1．在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程.【解析】利用两点间的距离公式建立关系.∵点在直线上，∴可设，根据两点的距离公式得： 即解得，∴． ∴直线PM的方程为，即【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式.____________________________________________________________________________________________第6页
【变式1】求与A（32，10），B（42，0），C（0，0）等距离点的坐标.【解析】2.两点间距离公式的应用例2.以点A（1，3），B（－2，8），C（7，5）为顶点的ABC是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】方法一（综合法）：根据两点的距离公式及余弦定理可以判断三角形的形状.只需判断最大角，由余弦定理，：∴为钝角.故ABC为钝角三角形，选C.方法二（向量法）：由题意：,故为钝角,ABC为钝角三角形，选C.【变式2】已知两点，求的最大值.【解析】例3．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1,–1)，求边AB,AC所在的直线方程.【解析】从确定直线AB,AC的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y–6=0,直线AB满足:经过点A且与直线2x+y–6=0成角，（或|AB|等于点A到直线2x+y–6=0的距离的倍）解法1（从距离入手）AC垂直于直线2x+y–6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,把A(1,–1)代入得c=-3,故直线AC的方程为x-2y-3=0,，设B(x,y),则，解得或，所以直线AB的方程为或解法2（从角度入手）:直线AC的斜率为，由点斜式并化简得，直线AC的方程为x-2y-3=0.考虑直线AB,AC的夹角为，设直线AB,AC的方向向量分别为____________________________________________________________________________________________第6页
则，解得或，所以直线AB的方程为或【评析】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件；(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组；(3)列方程组求解.【变式3】过点P（2，1）作直线l分别交x,y轴于A,B两点，求|PA||·|PB|取得最小值时直线l的方程.【解析】【评析】设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示|PA||·|PB|和|OA||·|OB|,本题用点斜式设出方程或用设倾斜角的补角最简便.二、教材挖掘1.利用向量的模推导两点间的距离公式：若向量，则.若已知平面上两点，，则向量，即：平面上两点，的距离公式为.【例3】在平面直角坐标系中，已知点，求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长.【解析】方法一:由题设知，则∴故所求的两条对角线的长分别为、.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）.故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=.【评析】体会向量是解决几何问题的一种工具，使用向量解决问题有时能使问题简单化.2.坐标法教材P105例4揭示了解析几何最基本的方法——坐标法（或称解析法），即将几何问题转化为坐标平面内的代数问题求解.坐标法既是解析几何学的基本方法，更是代数与几何紧密结合的桥梁.这里要注意两点：（1）如何根据图形恰当建立坐标系？要注意图形的对称性、是否有垂直关系或定值线段等，恰当建系可以简化运算.（2）坐标法的基本步骤:第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.第二步：进行有关代数运算.____________________________________________________________________________________________第6页
例4.求证：平行四边形的两条对角线的平方和等于各边平方的和。【解析】这是教材P105例4，我们另证如下，旨在帮助大家理解建系方法及解析法：证明：以平行四边形ABCD对角线BD所在直线为x轴，BD中点O为原点建立平面直角坐标系，设A（b,c），D（a,0），则B（－a,0）可得∴∴因此，【评析】要理解上述解决问题的基本步骤，对每一步要细究之：(1)常见建系方法有三：定值线段法（条件中有定值线段）、定角法（条件中有定角）、垂线法（条件中有垂直关系）.（2）解析几何的运算是数学学习的拦路虎，需认真对待.三、总结提升1.本课知识结构框图用代数方法解决几何问题两点间的距离公式直角三角形勾股定理2.拓展性知识（1）直线上两点间的距离公式：设A、B是斜率为的直线上的两点，求证：【解析】由直线AB的斜率为，可设直线AB的方程为，由于直线经过A和B，故，从而【评析】（1）本题结论揭示了利用直线斜率等元素进行刻画直线上两点间的距离，请大家记住这一结论，在后续学习中大大的有用！（2）这一结论的几何意义如下：如图，斜率为的直线有两点A和B，分别过点A作y轴垂线、过B作x轴垂线，两垂线交于点C,设直线的倾斜角为.在Rt△ABC中，或____________________________________________________________________________________________第6页
，故.事实上，（2）两相交直线的夹角定义两相交直线所组成的不大于900的角为直线所成角（也称直线的夹角）.易知.设直线的方向向量分别为，那么.我们可以利用这一关系求解两相交直线的夹角大小（参见例3解法2）.3.问鼎高考已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．【解析】设点P的坐标为，由题设有，即，整理得：①因为点到的距离为1，，所以∠＝30°，直线的斜率为±，直线的方程为②将②式代入①式整理得．解得．代入②式得点P的坐标为或；或．直线PN的方程为：或．【自主评价】【自主评价1】1．已知，则|AB|等于（）A.4B.C.6D.【自主评价2】一、选择题1．已知点且，则a的值为（）.A.1B.－5C.1或－5D.－1或52．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则的长为（）A.10B.5C.8D.63．已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（）A.B.C.D.4．过点和的直线与直线垂直，则的值为（）A.6B.2C.D.不能确定5.若都在直线上，点在直线上，则=（）____________________________________________________________________________________________第6页
A．B．2C．D．二、填空题6．已知，则BC边上的中线AM的长为.7.已知点的纵坐标是1，点与点间的距离等于，则点的坐标为8.已知正△ABC的两个顶点A（2，0），B（4，2），则顶点C的坐标为_______________.三、解答题9.(1)已知点，判断的形状．(2)已知点A(2,-3),若点在直线上,求线段的最小值.【解析】.10.已知：中，AO是BC边上的中线.用解析法证明：.证明：【自主评价3】讨论直线l:y=kx－1与二次函数C:y=x2的图象的位置关系,并在l与C相交时,求交点间的距离(用表示).【评析】l与C相交时，|AB|也可以使用《拓展性知识》并结合韦达定理求解：此解法更具一般性，需仔细体会之.____________________________________________________________________________________________第6页
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