高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 习题含解析

1、点P（﹣2，4）到坐标原点的距离是 2 ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：根据两点之间的距离公式即可求解．解答：解：设原点为O（0，0），根据两点间距离公式，∴PO===2，故答案为：2．点评：本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．2、点A（3，﹣2）与点B（0，2）之间的距离为 5 ．考点：两点间的距离公式。分析：直接利用两点间的距离公式可求解．解答：解：AB==5．故答案填：5．点评：本题主要考查了坐标系中的两点间的距离公式．要掌握才能灵活运用．AB=．3、已知点A（﹣3，2），B（3，2），则A，B两点距离为 6 ．考点：两点间的距离公式。分析：根据两点间的距离公式可直接解答．解答：解：∵点A（﹣3，2），B（3，2）的纵坐标相同，∴AB平行于x轴，∴AB=3﹣（﹣3）=6．故答案填：6．点评：此题考查的是两点间的距离公式，比较简单．4、在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是  ．考点：两点间的距离公式。分析：本题可根据两点之间的距离公式得出方程：，化简即可得出答案．解答：解：点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是：=．故答案填：． 点评：本题主要考查了两点之间的距离公式，要熟记并灵活掌握．5、已知平面直角坐标系中A（﹣5，12），则点A到x轴的距离为 12 ，到y轴距离为 5 ，到原点的距离为 13 ．考点：两点间的距离公式。分析：直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为．解答：解：∵平面直角坐标系中A的坐标为（﹣5，12），∴|﹣5|=5，|12|=12，==13，即点A到x轴的距离为12，到y轴距离为5，到原点的距离为13．故各空依次填：12，5，13．点评：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，在解答此题时要注意求点到原点的距离时要用到勾股定理．6、点P（a，b）到原点的距离为  ．考点：两点间的距离公式。分析：作PA⊥OA，连接OP，因为点P（a，b），所以P到x轴的距离是|b|，OA=|a|，根据勾股定理OP=．解答：解：如图，作PA⊥OA，连接OP．∵P（a，b）∴OA=|a|，PA=|b|，∴OP=．故答案填：．点评：主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要把点的坐标和图形有机结合起来求解．7、已知点P（﹣1，2），点Q到y轴的距离与点P到y轴的距离相等，且PQ=4，则点Q的坐标为 （﹣1．﹣2）或（﹣1，6）或（1，2+2）或（1，2﹣2） ．考点：两点间的距离公式。专题：分类讨论。分析：根据点的坐标的几何意义和绝对值的性质解答．解答：解：点P到y轴的距离是这点的横坐标的绝对值，即1个单位长度．则点P到y轴的距离是1，则Q点的横坐标是1或﹣1， ①当P点的横坐标是﹣1时，PQ∥y轴，PQ=4则Q点的纵坐标是﹣2或6，点P的坐标是（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）；②当点P的横坐标是1时，根据勾股定理得到：，则这时，点的坐标是（1，2+2）或（1，2﹣2）．故点Q的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）或（1，2+2）或（1，2﹣2）．点评：本题主要考查了点的坐标的几何意义，到x轴的距离，就是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离，就是横坐标的绝对值．注意点P的横坐标是1或﹣1两种情况是解题的关键．8、在x轴上与点（0，﹣2）距离是4个单位长度的点有 （2，0）或（﹣2，0） ．考点：两点间的距离公式。分析：易得所求点的纵坐标为0，横坐标为2和4组成的直角三角形的直角边的绝对值．解答：解：∵点在x轴上，∴点的纵坐标为0，∵距离（0，﹣2）的距离是4，∴所求点的横坐标为±=±2，∴所求点的坐标是（2，0）或（﹣2，0）．故答案填：（2，0）或（﹣2，0）．点评：本题用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；坐标轴上到一个定点等于定长的点有2个．9、在x轴上，若点P与点Q（﹣2，0）的距离是5，则点P的坐标是 （﹣7，0）或（3，0） ．考点：两点间的距离公式。分析：易得点P的纵坐标为0，横坐标为﹣2左边5个单位的数或﹣2右边5个单位的数，即可得解．解答：解：∵点P在x轴上，∴点P的纵坐标为0，∵点P与点Q（﹣2，0）的距离是5，∴点P的横坐标为﹣2﹣5=﹣7或﹣2+5=3，∴点P的坐标是（﹣7，0）或（3，0）．故答案填：（﹣7，0）或（3，0）．点评：本题用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；坐标轴上到一个定点等于定长的点有2个．10、若小明所在的位置表示为（8，3），小东所在的位置是（2，11），则小明与小东之间相距 10 ．考点：两点间的距离公式。分析：在直角坐标系内，两点之间的距离公式为d=．解答：解：根据两点间的距离公式，小明与小东之间的距离d====10． 故答案填：10．点评：本题利用了在直角坐标系中，两点间的距离公式．11、点A在y轴左侧，距y轴5个单位长度，距x轴4个单位长度，则A点的坐标为 （﹣5，4） 或 （﹣5，﹣4） ，A点到原点的距离为  个单位长度．考点：两点间的距离公式。分析：y轴左侧的点的横坐标均为负数，到x轴的距离，就是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离，就是横坐标的绝对值．可得到点A的坐标的不同情况，利用点的横纵坐标的勾股定理即可求得A点到原点的距离．解答：解：A在y轴左侧，即点的横坐标是负数，又因为距y轴5个单位长度，则点A的横坐标是﹣5；距x轴4个单位长度，则点A的纵坐标是4或﹣4，因而A点的坐标为（﹣5，4）或（﹣5，﹣4）．根据勾股定理就可以得到：A点到原点的距离=．点评：本题主要考查了点的坐标的几何意义，到x轴的距离，就是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离，就是横坐标的绝对值．12、点P（a，b）到x轴的距离是 |b| ，到原点的距离是  ，到y轴的距离是 |a| ．考点：两点间的距离公式。分析：根据平面直角坐标系中点的坐标的几何意义及两点间的距离公式解答．解答：解：根据平面直角坐标系中点的坐标的几何意义点到x轴的距离是|b|；同理，到y轴的距离是|a|；根据两点之间的距离公式可知点到原点的距离是．点评：本题用到的知识点为：点到x轴的距离为这个点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为这个点横坐标的绝对值．13、一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米，达到A5点．按如此规律走下去，若机器人走到点A7时，离起点O的距离是 12 米．考点：两点间的距离公式；点的坐标。专题：规律型。分析：根据题意，依次确定这7个点的坐标，最终可得A7的坐标，进而可得其与原点的距离．解答：解：根据题意，可得A1点的坐标为（3，0），A2点的坐标为（3，6），A3点的坐标为（﹣6，6），A4点的坐标为（﹣6，﹣6），A5点的坐标为（9，﹣6），A6点的坐标为（9，12），A7点的坐标为（﹣12，12），所以点A7离起点O的距离是=12；故答案为12．点评：本题考查点的坐标的确定与两点间的距离，正确确定点的坐标是解题的关键． 14、已知直角坐标平面内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），那么A、B两点间的距离等于 5 ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：根据两点间的距离公式d=解答即可．解答：解：∵直角坐标平面内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），∴A、B两点间的距离等于=5；故答案是：5．点评：本题考查了两点间的距离公式，比较简单．掌握两点间的距离公式是解题的关键件．15、如果点P在x轴上，它与点（2，﹣3）的距离是5，那么点P的坐标为 （﹣2，0）或（6，0） ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：易得点P的纵坐标为0，可以设点P（x，0），然后利用两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程即可．解答：解：设点P（x，0），则根据题意，得5=，即（x﹣2）2=16，解得，x=﹣2，或x=6；故答案是：（﹣2，0）或（6，0）．点评：本题考查了两点间的距离公式．解题时，要充分利用“x轴上的点的纵坐标为0”这一知识点．16、已知直角坐标平面内点A（2，﹣3）和点B（﹣2，5），则AB=  ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：利用两点间的距离公式（d=）求解．解答：解：∵点A的坐标是（2，﹣3）、点B的坐标是（﹣2，5），∴AB==4．故答案是：4．点评：本题考查了两点间的距离公式．解答关于求两点间的距离的题目时，需要熟记两点间的距离公式d=．17、在直角坐标平面中，如果线段AB的两个端点坐标分别为（4，﹣1）和（1，3），那么线段AB的长为 5 ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。 分析：直接根据直角坐标系中两点的距离公式计算即可．解答：解：∵线段AB的两个端点坐标分别为（4，﹣1）和（1，3），∴AB==5．故答案为5．点评：本题考查了直角坐标系中两点的距离公式：如果A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么AB=．18、点A（2，﹣3）与B（﹣3，9）之间的距离AB= 13 ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：直接根据直角坐标系中两点的距离公式计算即可．解答：解：∵点A坐标为（2，﹣3），点B的坐标为（﹣3，9），∴AB==13．故答案为13．点评：本题考查了直角坐标系中两点的距离公式：如果A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么AB=．也考查了勾股数．19、如图，已知直线a与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），线段AB的垂直平分线b交y轴于点C（0，1），则AC的长为  ．考点：两点间的距离公式；线段垂直平分线的性质。分析：根据线段垂直平分线上的点到线段上两端点的距离相等知AC=CB；然后根据两点间距离公式求得BC=，即AC=．解答：解：∵线段AB的垂直平分线是b，∴AC=CB；又∵CB==；∴AC=．故答案是：．点评：本题考查了两点间的距离公式、线段垂直平分线的性质．解答该题需要熟记两点间的距离公式． 20、已知直角坐标平面上点P（3，﹣2）和Q（﹣1，6），则PQ=  ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．解答：解：∵P（3，﹣2）和Q（﹣1，6），∴PQ==4．故答案为4．点评：本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式：若两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则这两点的距离=．21、已知点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（﹣1，3），那么A、B两点之间的距离是 5 ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：根据两点间的距离公式：d=，解答并填空．解答：解：∵点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（﹣1，3），∴A、B两点之间的距离是：=5．故答案是：5．点评：本题考查了两点间的距离公式．解答该题的关键是熟记两点间的距离公式d=．22、在直角坐标系中，y轴上与A（1，0）的距离等于2的点的坐标是 （0，）（0，﹣） ．考点：两点间的距离公式。分析：本题需先设出y轴上与A（1，0）的距离等于2的点的坐标是（0，y），再根据题意列出方程求出y的值，即可得出结果．解答：解：设在直角坐标系中，y轴上与A（1，0）的距离等于2的点的坐标是（0，y），则=2，解得：y=，∴y轴上与A（1，0）的距离等于2的点的坐标是（0，）（0，﹣）．故答案为：（0，）（0，﹣）．点评：本题主要考查了两点间的距离公式，在解题时要能根据题意列出方程是本题的关键．23、在直角坐标系中，坐标轴上到点P（﹣3，﹣4）的距离等于5的点的坐标是 （0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0） ．考点：两点间的距离公式。 专题：数形结合。分析：由P（﹣3，﹣4）可知，P到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点分别与x轴、y轴交于另外一点，共有三个．解答：解：∵P（﹣3，﹣4）到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点且分别交x轴、y轴于另外两点（如图所示），∴故坐标轴上到P点距离等于5的点有三个：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．故答案是：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．点评：本题考查了两点之间距离的概念，满足到P点距离为5的点的集合，是以P点为圆心，以5为半径的圆．24、已知点A（﹣3，1），点B在y轴正半轴上，且AB=5，则点B的坐标为： （0，5） ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：首先根据点B在y轴正半轴上设点B的坐标为（0，x），根据两点间的距离公式列出一元二次方程解得即可．解答：解：∵点B在y轴正半轴上，设点B的坐标为（0，x），AB=5，∴=5，解得x=5或﹣3，∵点B在y轴正半轴上，∴x=5．故答案为（0，5）．点评：本题主要考查两点间的距离公式，根据两点间的距离公式列出一元二次方程并解答是解答本题的关键．25、平行于y轴的直线上的两点A（﹣2，3）、B（﹣2，﹣1）的距离AB= 4 ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。 分析：可直接根据直角坐标系中两点的距离公式计算；因为AB∥y轴，所以也可以用B点的纵坐标减A点的纵坐标．解答：解：AB==4，故答案为4．点评：本题考查了直角坐标系中两点的距离公式：如果A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么AB=．26、已知直角坐标平面内两点A（2，﹣1）和B（﹣1，3），那么A、B两点间的距离等于 5 ．考点：两点间的距离公式。分析：根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=．解答：解：A、B两点间的距离等于==5．故答案为5．点评：此题考查了坐标平面内两点间的距离公式，能够熟练运用公式进行计算．27、点C在x轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为 （2，0） ．考点：两点间的距离公式。专题：计算题。分析：设点C的坐标为（x，0），根据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：d=．解答：解：设点C坐标为（x，0）．利用两点间的距离公式，得AC=，BC=．根据题意，得AC=BC，∴AC2=BC2．即（x﹣2）2+25=（x+1）2+16．解得x=2．所以，点C的坐标是（2，0）．点评：本题考查了两点间的距离公式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键．28、在平面直角坐标系中，描出A（0，﹣3）、B（4，0），连接AB，则线段AB的长为 5 ．考点：两点间的距离公式。分析：根据勾股定理求解．解答：解：根据勾股定理，得AB==5． 故答案为5．点评：此题考查了坐标平面内两点间的距离的计算方法，能够熟练运用勾股定理．29、如果两点：M（x1，y1），N（x2，y2），那么．已知：A（3，﹣1），B（﹣1，4），C（1，﹣6），在△ABC内求一点P，使PA2+PB2+PC2最小，则点P的坐标是 （1，﹣1） ．考点：两点间的距离公式；完全平方式。专题：计算题。分析：设点P（x，y），则由两点间的距离公式，推出3x2+3y2﹣6x+6y+64，整理后得到3（x﹣1）2+3（y+1）2+58，根据最小值求出即可．解答：解：设点P（x，y），则由两点间的距离公式，得PA2+PB2+PC2=（x﹣3）2+（y+1）2+（x+1）2+（y﹣4）2+（x﹣1）2+（y+6）2=3x2+3y2﹣6x+6y+64，=3（x2﹣2x+1）+3（y2﹣2y+1）+58，=3（x﹣1）2+3（y+1）2+58，∵要使上式的值最小，必须x﹣1=0，y+1=0，∴x=1，y=﹣1，即P（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．点评：本题主要考查对完全平方公式，两点之间的距离公式等知识点的理解和掌握，能推出3（x﹣1）2+3（y+1）2+58并进一步求出x、y的值是解此题的关键．30、点A（﹣6，8）到x轴的距离为 8 ，到y轴的距离为 6 ，到原点的距离为 10 ．考点：两点间的距离公式。分析：根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．根据两点之间的距离公式便可求出点到原点的距离．解答：解：由点A（﹣6，8）可知，此点到x轴的距离为|8|=8，到y轴的距离为|﹣6|=6，到原点的距离为=10．故答案分别填：8、6、10．点评：解答此题的关键是熟知点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．31、点（3，4）到原点的距离为 5 ．考点：两点间的距离公式。分析：先画出图形，然后利用勾股定理根据图形计算．解答：解：如图：设原点为D，点A为题是点（3，4），则根据勾股定理，DA==5．故答案填：5． 点评：本题要熟悉平面直角坐标系的结构及点的坐标的意义．32、在直角坐标系内，点A（3，）到原点的距离是 4 ．考点：两点间的距离公式。分析：在直角坐标系中，点（x，y）到原点的距离S=．解答：解：点A（3，）到原点的距离是==4．故答案填：4．点评：本题主要考查点的坐标的几何意义，及点的原点的距离求法．注意点（x，y）到原点的距离为S=．33、在平面直角坐标系中点A（，1）到原点的距离是 2 ．考点：两点间的距离公式。分析：求出与1的平方和的算术平方根即可．解答：解：点A（，1）到原点的距离是=2．故答案填：2．点评：本题主要考查了点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离．34、点P（5，﹣12）到原点的距离是 13 ．考点：两点间的距离公式。分析：作出辅助线，构造出直角三角形，根据勾股定理即可解答．解答：解：如图，设原点为O，作PA⊥x轴于点A，那么PA=12，OA=5，根据勾股定理可得OP==13．故答案填13． 点评：解答此题的关键是构造直角三角形利用勾股定理来求斜边．35、若A（﹣9，12），另一点P在x轴上，P到y轴的距离等于A到原点的距离，则P点坐标为 （15，0）或（﹣15，0） ．考点：两点间的距离公式。分析：先根据勾股定理求出A到原点的距离，再根据x轴上点的特点是纵坐标为0解答．解答：解：∵A（﹣9，12）到原点的距离为=15，∵点A到原点的距离是15，∴点P的坐标是（15，0）或（﹣15，0）．点评：本题考查x轴上点的特点及勾股定理的运用．36、点P（1，﹣2）位于第 四 象限，点P到原点的距离为  ．考点：两点间的距离公式。分析：根据四个象限点的坐标的特点即可求出点P所在的象限，根据两点间的距离公式即可求出点P到原点的距离．解答：解：∵P点坐标为（1，﹣2），符合点在第四象限内的坐标特点，∴点P（1，﹣2）位于第四象限，且点P到原点的距离为=．故答案分别填：四、．点评：本题考查了四个象限点的坐标的特点与两点间的距离公式，比较简单．37、若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x= ﹣3或7 ．考点：两点间的距离公式。分析：根据两点间的距离公式便可直接解答．解答：解：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，∴AB==5，解得x=﹣3或x=7．故答案填：﹣3或7． 点评：解答此题的关键是熟知两点间的距离公式．38、点A在y轴右侧，距y轴6个单位长度，距x轴8个单位长度，则A点的坐标是 （6，8）或（6，﹣8） ，A点离开原点的距离是 10 ．考点：两点间的距离公式。分析：由于点A在y轴右侧，所以横坐标大于0，但纵坐标有两种情况，又A距y轴6个单位长度，距x轴8个单位长度，由此即可确定A点的坐标，然后利用勾股定理就可以求出A点离开原点的距离．解答：解：∵点A在y轴右侧，距y轴6个单位长度，∴点A的横坐标为6，∵点A距x轴8个单位长度，∴A点的坐标是（6，8）或（6，﹣8）；∴A点离开原点的距离是=10．故两空分别填：（6，8）或（6，﹣8）；10．点评：此题主要考查了根据点的位置和到坐标轴的距离确定点的坐标，也考查了利用勾股定理求点到原点的距离，有一定的综合性．39、若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 （3，2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）或（3，﹣2） ，它到原点的距离为  ．考点：两点间的距离公式。分析：点P到x轴的距离为2即点P的纵坐标是2或﹣2；点到y轴的距离为3则的横坐标是3或﹣3，因而可以求出点P的坐标．求点到原点的距离，可以通过点向x轴作垂线，并连接这一点和原点，根据勾股定理就可以求出点到原点的距离．解答：解：∵点P到x轴的距离为2，∴点P的纵坐标是2或﹣2；∵点到y轴的距离为3，∴点P的横坐标是3或﹣3，即点P的坐标为（3，2），（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，﹣2）；点P到原点的距离为=．故答案填：（3，2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）或（3，﹣2）；．点评：本题就是考查点的坐标的几何意义，点的坐标的绝对值就是点到坐标轴的距离．同时考查了点到原点的距离的求法，可以转化为解直角三角形．40、平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是  ．考点：两点间的距离公式。分析：依题意得OP=2，OQ=3，在直角三角形OPQ中，由勾股定理得PQ==．解答：解：在直角坐标系中设原点为O，三角形OPQ为直角三角形，则OP=2，OQ=3，∴PQ==．故答案填：． 点评：本题充分运用平面直角坐标系的两条坐标轴互相垂直的关系，构造直角三角形，将点的坐标转化为相关线段的长度，运用勾股定理解题．