知识点233：两点间的距离（解答）1．（2011•呼伦贝尔）根据题意，解答问题：（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长．（2）如图②，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（﹣2，﹣1）之间的距离．考点：两点间的距离；勾股定理。专题：计算题；数形结合。分析：（1）根据已知条件求出A、B两点的坐标，再根据公式计算即可解答．（2）根据公式直接代入数据计算即可解答．解答：解：（1）根据题意得：A（0，4），B（﹣2，0）…（分）在Rt△AOB中，根据勾股定理：…（3分）（2）过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF，NE交于点D…（4分）根据题意：MD=4﹣（﹣1）=5，ND=3﹣（﹣2）=5…（5分）则：MN=…（6分）点评：本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．2．已知线段AB=8cm，回答下列问题：（1）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm，为什么？（2）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？考点：两点间的距离。分析：（1）不存在，可以分点C在AB上或AB外两种情况进行分析；（2）存在，此时点C在线段AB上，且这样的点有无数个．解答：解：（1）①当点C在线段AB上时，AC+BC=8，故此假设不成立；②当点C在线段AB外时，由三角形的构成条件得AC+BC＞AB，故此假设不成立；所以不存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm．
（2）由（1）可知，当点C在AB上，AC+BC=8，所以存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，线段是由点组成的，故这样的点有无数个．点评：此题主要考查学生对比较线段长短的理解及运用．3．在直线a上任取一点A，截取AB=16cm，再截取AC=40cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离．考点：两点间的距离。专题：计算题；分类讨论。分析：题中没有指明点C的具体位置故应该分两种情况进行分析，从而求得DE的长．解答：解：（1）如右图，∵AB=16cm，AC=40cm，点D，E，分别是AB，AC的中点∴AD=AB=8cm，AE=AC=20cm∴DE=AE﹣AD=20﹣8=12cm；（2）如上图，∵AB=16cm，AC=40cm，点D，E，分别是AB，AC的中点∴AD=AB=8cm，AE=AC=20cm∴DE=AE+AD=20+8=28cm．故AB的中点D与AC的中点E之间的距离为12cm或28cm．点评：此题主要考查学生对比较线段的掌握情况，注意分类讨论思想的运用．4．已知线段AB=10cm，回答下列问题（1）是否存在点P，使它到A、B两点的距离之和小于10cm？为什么？（2）当点P到A，B两点的距离之和大于10cm时，点P一定在直线AB外吗？点P有几种存在方式？考点：两点间的距离。专题：分类讨论。分析：（1）根据两点之间线段最短进行判断；（2）结合三角形的三边关系进行解答，点P的存在方式，应按在直线AB上和在直线AB外两种情况进行讨论．解答：解：（1）由两点之间线段最短，可知不存在点P，使它到A、B两点的距离之和小于10cm．（2）点P不一定在直线AB外．点P可以在线段AB的延长线上，可以在线段BA的延长线上，还可以在直线AB外．所以点P有3种存在方式．点评：解决此类问题的关键是理解线段的性质：两点之间线段最短．5．已知线段AB=6cm，在同一平面内讨论下列问题：（1）是否存在一点C，使B、C和A、C之间的距离相等？在什么情况下，C才是线段AB的中点？（2）是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和最小？若存在，点C的位置在哪里？最小距离是多少？（3）当点C到A、B两点之间的距离之和大于6cm时，点C的位置在什么地方？试举例说明．（4）由（2），（3），你能得出一个什么结论？考点：两点间的距离。分析：（1）根据等腰三角形的特点和线段的中点进行解答；（2）根据两点之间线段最短进行解答；（3）当C在线段AB外时，根据三角形的三边关系可解答；（4）结合点C到A、B两点之间的距离之和进行总结．解答：解：（1）存在，当C在AB上时，C才是线段AB的中点；（2）存在，当C才是线段AB的中点时距离最短，最短距离为6cm；
（3）当C在线段AB外时，C到A、B两点之间的距离之和大于6cm．例如点A、B、C为三角形的三个顶点时；（4）点C到A、B两点之间的距离之和一定不小于6cm．点评：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．注意运用线段的性质：两点之间线段最短．6．A、B、C、D、E5个车站的位置如图所示，分别求出D、E两站和A、E两站的距离（单位：km）．考点：两点间的距离。分析：在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，根据题目中的几何图形，再根据题意进行计算．解答：解：根据题意可得：DE=CE﹣CD=（3a+2b）﹣（2a﹣b）=（a+3b）km；（3分）AE=AB+BC+CE=a+b+3a+2b=（4a+3b）km．（6分）点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7．如图，点C在线段AB上，AC=10cm，CB=8cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a（cm），M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．考点：两点间的距离；比较线段的长短。分析：（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度；（2）与（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于AC与BC长度和的一半；（3）根据中点定义可得：AM=MC=AC，CN=BN=CB，再根据线段之间的和差关系进行转化即可．解答：解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC=5cm，CN=BC=4cm，∴MN=CM+CN=5+4=9cm；（2）MN=a（cm），理由如下：同（1）可得CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=a（cm）．（3）MN=b（cm），如图所示：根据题意得：AC﹣CB=b，AM=MC=AC，CN=BN=CB，
∴NM=BM+BN=（MC﹣BC）+BC=（AC﹣BC）+BC=AC+（﹣BC+BC）=AC﹣BC=（AC﹣BC）=b（cm）．点评：此题主要考查了线段的中点，关键是准确把握线段之间的倍数关系，理清线段之间的和差关系，进行等量代换即可．8．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．考点：两点间的距离。专题：方程思想。分析：由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长．解答：解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm所以AD=AB+BC+CD=10xcm因为M是AD的中点，所以AM=MD=AB=5xcm所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm因为BM=6cm，所以3x=6，x=2故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×2=4cm，AD=10x=10×2=20cm．点评：本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．9．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是CD的中点．（1）若MB=3，BC=2，CN=2.5，则AD= 13 ．（2）若MN=a，BC=b，用a、b表示线段AD．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：（1）由已知M是AB的中点，N是CD的中点，可求出AB和CD，从而求出AD；（2）由已知M是AB的中点，N是CD的中点，推出AM=MB=AB，CN=ND=CD，则推出AB+CD=2a﹣2b，从而得出答案．解答：解：（1）∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB=2MB=6，CD=2CN=5，∴AD=AB+BC+CD=6+2+5=13，故答案为：13；（2）∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AM=MB=AB，CN=ND=CD，∵MN=MB+BC+CN=a，∴MB+CN=MN﹣BC=a﹣b，∴AB+CD=2MB+2CN=2（a﹣b），
∴AD=AB+BC+CD=2a﹣2b+b=2a﹣b．点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是根据线段的中点及各线段间的关系求解．10．已知：线段AB=5cm，延长AB到C，使AC=7cm，在AB的反向延长线上取点D，使BD=4BC，设线段CD的中点为E，问线段AE是线段CD的几分之一？考点：两点间的距离。分析：根据题意和图形，即可推出BC的长度，然后根据BD=4BC，即可推出BD的长度，继而即可推出AD=3，由图形可推出CD=BD+BC=10cm，由E点为CD的中点，即可推出DE的长度，由AE=DE﹣AD=5﹣3=2cm，由AE和CD的长度即可推出线段AE是线段CD的几分之一．解答：解：∵BC=AC﹣AB，AC=7，AB=5，∴BC=2，∴BD=4BC=8，∴AD=BD﹣AB=3，∵CD=BD+BC，∴CD=10（cm），∴E为CD的中点，∴DE=CD=5，∴AE=DE﹣AD=2（cm），∴AE是CD的．点评：本题主要考查线段中点的概念，两点之间的距离等知识点，关键在于运用数形结合的思想推出AE和CD的长度，认真的进行计算．11．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB的长；（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A、B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．（3）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：且d=|a+b|﹣|﹣2﹣b|﹣|a﹣2c|﹣5，试求7（d+2c）2+2（d+2c）﹣5（d+2c）2﹣3（d+2c）的值．考点：两点间的距离；数轴；绝对值；代数式求值。专题：计算题。分析：（1）由已知先得出OA和OB，即可求出AB的长；（2）此题可分两种情况讨论，有线段之间的关系得出；（3）先由图确定a+b＜0，﹣2﹣b＞0，a﹣2c＜0，再求出d+2c=﹣3，即可得出答案．解答：解：（1）∵A、B两点所表示的数分别为﹣2和8∴OA=2，OB=8（2分）∴AB=OA+OB=10（3分）（2）线段MN的长度不发生变化，其值为5．（4分）分下面两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时（如图）．MN=MP+NP=AP+BP（5分）=AB=5（6分）②当点P在点A的左侧运动时（如图）．MN=NP﹣MP=BP﹣AP=AB=5（7分）综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．（8分）（3）由已知有：a+b＜0，﹣2﹣b＞0，a﹣2c＜0（9分）∴d=﹣a﹣b+2+b+a﹣2c﹣5=﹣3﹣2c∴d+2c=﹣3（10分）7（d+2c）2+2（d+2c）﹣5（d+2c）2﹣3（d+2c）=2（d+2c）2﹣（d+2c）（11分）=2×（﹣3）2﹣（﹣3）=2×9+3=18+3=21（12分）点评：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．12．已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6cm，求线段MC的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：首先由已知AB：BC：CD=2：4：3，CD=6cm，求出AD，再由M是AD的中点，求出DM，从而求出MC的长．解答：解：由AB：BC：CD=2：4：3，设AB=2xcm，BC=4xcm，CD=3xcm，…1分则CD=3x=6，解得x=2．…2分因此，AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18（cm）．…4分因为点M是AD的中点，所以DM=AD=×18=9（cm）．…6分MC=DM﹣CD=9﹣6=3（cm）．…7分点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是先由已知求出AD的长，再求MC的长．
13．如图，点C、D在线段AB上，，D是BC的中点，CD=4.5，求线段AB的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：首先由D是BC的中点，CD=4.5，求出BC，再根据AC=BC求出AC，从而求出线段AB的长．解答：解：∵D是BC的中点∴CD=BD=BC，∴BC=2CD=2×4.5=9，AC=BC=×9=3，∴AB=AC+BC=3+9=12，所以线段AB的长为12．点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．14．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数 ﹣4 ；（2）点P所表示的数 6﹣6t ；（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．考点：两点间的距离；数轴；列代数式。专题：动点型。分析：（1）由已知得OA=6，则OB=AB﹣OA=4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；（2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；（3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为AB，所以得出结论线段MN的长度不发生变化．解答：解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB﹣OA=4，点B在原点左边，所以数轴上点B所表示的数为﹣4，故答案为：﹣4；（2）点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6﹣6t，故答案为：6﹣6t；（3）线段MN的长度不发生变化，理由：分两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时，如图MN=MP+NP=BP+PA=AB=5…（7分）②当点P运动到B的左边时，如图MN=MP﹣NP=AP﹣PB=AB=5综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5…（10分）点评：此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．15．已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，（1）若线段AB=a，CE=b，|a﹣15|+（b﹣4.5）2=0，求a，b；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE；（3）如图2，若AB=15，AD=2BE，求线段CE．考点：两点间的距离；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。分析：（1）由|a﹣15|+（b﹣4.5）2=0，根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=7.5，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度；（3）首先设EB=x，根据线段中点的性质推出AD、DE关于x的表达式，即AD=DE=2x，由图形推出AD+DE+BE=15，即可得方程：x+2x+2x=15，通过解方程推出x=3，即BE=3，最后由BC=7.5，即可求出CE的长度．解答：解：（1）∵|a﹣15|+（b﹣4.5）2=0，∴|a﹣15|=0，（b﹣4.5）2=0，∵a、b均为非负数，∴a=15，b=4.5，（2）∵点C为线段AB的中点，AB=15，CE=4.5，∴BC=AB=7.5，∴AE=AC+CE=12，∵点D为线段AE的中点，∴DE=AE=6，（3）设EB=x，∵点D为线段AE的中点，∴AD=DE=2x，
∵AB=15，∴AD+DE+BE=15，∴x+2x+2x=15，解方程得：x=3，即BE=3，∵BC=7.5，∴CE=BC﹣BE=4.5．点评：本题主要考查线段中点的性质，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．16．如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长度．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：理解线段的中点及三分点的概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．解答：解：∵C、D为线段AB的三等分点，∴AC=CD=DB（1分）又∵点E为AC的中点，则AE=EC=AC（2分）∴CD+EC=DB+AE（3分）∵ED=EC+CD=9（4分）∴DB+AE=EC+CD=ED=9，则AB=2ED=18．（6分）点评：此题考查的知识点是两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．17．已知线段AB，反向延长AB到点C，使．若点D是BC中点，CD=3cm，求AB、AD的长．（要求：正确画图给2分）考点：两点间的距离。分析：首先根据题意画出图形，由于D是BC中点，根据CD的长度即可推出，CD=BD=3cm，BC=6cm，再由AC=AB，推出AC=BC=2，即可推出AB=4，由图形可知AD=CD﹣AC=3﹣2=1cm．解答：解：∵D是BC中点，CD=3cm，∴CD=BD=BC=3cm，∴BC=6cm，∵AC=AB，BC=6cm，∴AC=BC=2cm，∴AB=4cm，∴AD=CD﹣AC=3﹣2=1cm．点评：本题主要考查线段中点的性质，两点之间的距离等知识点，关键在于根据题意画出图形，由题意正确的推出BC、AC、CD的长度．
18．点C是线段AB的中点，E是线段CB上的一点，CE=BE，AB=16cm，求BE的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：先由点C是线段AB的中点求出CB，再由CE、BE间的关系求出BE．解答：解：∵C是线段AB的中点，∴CB=AB=8cm，∵CE=BE，∴CB=CE+BE=BE+BE=8，即BE=8，∴BE=6（cm），即BE的长为6cm．点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是运用线段中点的定义和等量代换及线段间的关系解答．19．体育课上，老师在学校直的跑道上相距15米的A、B两点插了两根棒，又在A、B之间的任一点C插了一根棒．一学生黄垒用一铅球从AC的中点M处抛出铅球，正好落在BC的中点N处，求铅球抛出的距离．（试着画出图形，写出解题过程）考点：两点间的距离。分析：由已知点C在AB之间，M、N分别是AC和BC的中点，所以铅球抛出的距离MN=（AC+BC）=AB．解答：解：由已知画图：∴MN即是铅球抛出的距离，∵M、N分别是AC和BC的中点，∴MN=（AC+BC）=AB=×15=7.5（cm）．答：铅球抛出的距离是7.5cm．点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是由M、N是AC和BC的中点求出铅球抛出的距离．20．如图，AB=12，点C在AB上，AC=BC，D的是AC中点．求BD的长．（请简单写出过程）考点：两点间的距离。分析：本题需先根据已知条件求出AC的长，再求出AD的长，即可求出BD的长．解答：解：∵AB=12，点C在AB上，AC=BC，∴AC=12×=4，又∵D是AC中点，∴AD=，=，
=2，∴BD=AB﹣AD=12﹣2=10，∴BD的长是10．点评：本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，求出线段的长是本题的关键．21．观察数轴可得：到点﹣2和点2距离相等的点表示的数是0，有这样的关系0=（﹣2+2）；根据上面的结论，解答下面的问题．（1）到点100和到点999距离相等的点表示的数是多少？（2）到点距离相等的点表示的数是多少？（3）到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是多少？考点：两点间的距离；数轴。分析：先观察数轴得出到两个点距离相等的点表示的数是这两个点表示的数的和的一半，再进行计算即可求出答案；解答：解：（1）到点100和到点999距离相等的点表示的数是：（100+999）=；（2）到点距离相等的点表示的数是（）=﹣；（3）到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是（m﹣n）；点评：此题考查了两点间的距离；根据观察得出规律是解题的关键．22．如下图，已知线段AD=8cm，线段BC=4cm，E、F分别是AB、CD的中点，且AB=CD，求EF的长度．考点：两点间的距离。分析：根据AD=8cm，CB=4cm，求出AB与CD的和的长，然后根据AB=CD求出AB，CD的长，又E、F分别是线段AB、CD的中点，分别求出EB和CF的长，然后将EB、BC、CF三条线段的长相加即可求出EF的长．解答：解：∵AD=8cm，BC=4cm，∴AB+AD=8cm﹣4cm=4cm，∵AB=CD，∴AB=CD=2cm，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EB=CF=1cm，∴EF=4cm+1cm+1cm=6cm．点评：此题主要考查了两点之间的距离，根据已知得出EB=CF=1cm从而得出，利用数形结合思想是这部分考查的重点．23．点D、E分别是线段AC与BC的中点，BE=8cm，AC=5cm，求DE．考点：两点间的距离。分析：由中点的性质可知，AC=2DE，CE=BE，再由BE=8cm，AC=5cm，即可求出CD=2.5cm，CE=8cm，然后如图DE=CE+DC，即可推出结果．解答：解：∵点D、E分别是线段AC与BC的中点，∴AC=2DE，CE=BE，∵CD=2.5cm，CE=8cm，∴DE=CE+DC=8+2.5=10.5cm．
点评：本题主要考查线段中点的性质，两点间的距离，关键在于根据题意推出CD=2.5cm，CE=8cm．24．已知线段AB=5cm，点C为直线AB上一点，且线段AC=3cm，点M、N分别为线段AC、AB的中点，求线段MN的长．考点：两点间的距离。分析：首先根据题意画出图形，分两种情况：当点C在线段AB上时；当点C在线段BA的延长线上时，再根据图形可以求出线段mn的长．解答：解：（1）如图①，当点C在线段AB上时，则MN=AB﹣AC=（5﹣3）=1（cm）；（2）如图②，当点C在线段BA的延长线上时，则MN=AC+BA=（3+5）=4（cm），答：线段MN的长度是1cm或4cm．点评：此题主要考查了两点之之间的距离，关键是根据题意画出图形，要考虑各种情况．25．如图，M是AC的中点，N是BC的中点，AC=3cm，BC=4cm，完成下列解答过程．解：因为M是AC的中点，N是BC的中点（ 已知 ）所以MC= AC，NC= BC（ 线段中点定义 ）因为AC=3cm，BC=4cm（已知）所以MC= 1.5cm ，NC=2cm因为MN=MC+NC（线段的和的定义）所以MN= 3.5 cm．考点：两点间的距离。分析：首先根据线段的中点定义可得MC=AC，NC=BC，再根据AC=3cm，BC=4cm即可求出MC、CN的长，再根据线段的和差关系可求出MN的长．解答：解：∵M是AC的中点，N是BC的中点（已知），∴MC=AC，NC=BC（线段的中点定义），∵AC=3cm，BC=4cm（已知）∴MC=1.5cm，NC=2cm∵MN=MC+NC（线段的和的定义）∴MN=3.5cm．点评：此题主要考查了线段的中点定义，关键是熟练把握线段的中点把线段分成相等的两部分．26．如图，已知点C在线段AB的延长线上，AB=6，BC=4，点D是AC的中点．求DB的长．考点：两点间的距离。分析：本题需先根据已知条件，算出AC的长，再有点D是AC的中点即可得出DC的长，最后即可求出DB的长．解答：解：∵AB=6，BC=4，
∴AC=AB+BC=10．∵点D是AC的中点，∴DC=AC=5；∴DB=DC﹣BC=5﹣4=1．点评：本题主要考查了两点间的距离，在解题时要结合图形找出本题的关键点是解决此题的关键．27．已知点A、B在数轴上分别表示m、n（1）填写下表：m5﹣5﹣6﹣6﹣10n304﹣42A、B两点的距离（2）若A、B两点的距离为d，则d与m、n有何数量关系？（3）在数轴上是否存在整数点P，使它到3和﹣2的距离之和为7？若存在，请写出所有符合条件的整数；若不存在，请说明理由．考点：两点间的距离；数轴。分析：（1）根据m、n所表示的数在数轴上表示出其具体位置即可得到A、B两点的距离；（2）根据（1）中所得到的数据，可得到|m﹣n|=d；（3）根据题意画出数轴即可得到答案．解答：解：（1）如图所示：m5﹣5﹣6﹣6﹣10n304﹣42A、B两点的距离2510212（2）|m﹣n|=d；（3）存在，符合条件的整数为﹣3或4．．点评：此题主要考查了数轴以及两点之间的距离，关键是熟练画出数轴，比较直观形象．28．如图，已知C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．（1）若AB=18cm，求DE的长；（2）若CE=5cm，求DB的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：（1）先由C是线段AB的中点求出AC和BC，再由D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．求出DC和CE，从而求出DE的长；（2）首先由（1）得出CE和BD的关系，然后求出BD的长．解答：解：（1）∵C是AB的中点，∴AC=BC=AB=9（cm）…（2分）∵D是AC的中点，∴AD=DC=AC=（cm）∵E是BC的中点，∴CE=BE=BC=（cm）…（4分）又∵DE=DC+CE，
∴DE=+=9（cm）…（6分）（2）由（1）知：AD=DC=CE=EB，∴CE=BD∵CE=5cm，∴BD=15（cm）…（8分）点评：此题考查的知识点是两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．29．课题研究：如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考．（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 4 ，A，B两点间的距离是 7 ．（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 1 ，A，B两点间的距离为 2 ．（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动2008个单位长度，再向左移动2009个单位长度，那么终点B表示的数是 ﹣5 ，A，B两点间的距离是 1 ．考点：两点间的距离；数轴。专题：阅读型。分析：根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．解答：解：（1）∵点A表示数﹣3，∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7=4，A，B两点间的距离是|﹣3﹣4|=7；故答案为：4，7；（2）∵点A表示数3，∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是3﹣7+5=1，A，B两点间的距离为3﹣1=2；故答案为：1，2；（3）∵点A表示数﹣4，∴将A点向右移动2008个单位长度，再向左移动2009个单位长度，那么终点B表示的数是﹣4+2008﹣2009=﹣5，A、B两点间的距离是|﹣4+5|=1；故答案为：﹣5，1．点评：本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，属较简单题目．30．已知线段AB=8cm，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，求线段MN的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+AB）=AB，从而可以求出MN的长度．解答：解：∵点M是AC中点，∴MC=AC，∵点N是BC中点，
∴CN=BC，MN=MC+CN=（AC+AB）=AB=4．答：线段MN的长为4．点评：本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半．31．如图，已知AC=9.6cm，，CD=2AB，求CD的长．考点：两点间的距离。专题：探究型。分析：根据AB=BC可知，BC=5AB，再根据AC=9.6cm可得出AB的长，再由CD=2AB即可求解．解答：解：∵，即BC=5AB，∵AB+BC=AC，即：AB+5AB=9.6，∴AB=1.6，∵CD=2AB，∴CD=2×1.6=3.2．故答案为：3.2．点评：本题考查的是两点间的距离公式，解答此类题目时要注意数形结合的运用．32．如图，AB=8cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，你能求出线段CD的长吗？并说明理由．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：本题应抓住中点这一关键词，列出等式CO=•AO，OD=•OB．解答：解：能．因为CO=•AO，OD=•OB，所以CD=CO+OD=•AO+•OB=（AO+OB）=•AB=•8=4cm．点评：本题考查了两点间的距离，只要熟悉了线段的中点这个定义，一般都可以解出该题．33．阅读：在用尺规作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：已知：如图，线段a求作：线段AB，使得线段AB=a．作法：①作射线AM；②在射线AM上截取AB=a．∴线段AB为所求．解决下列问题：已知：如图，线段b．
（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM上作线段BD，使得BD=b；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，取AD的中点E．若AB=5，BD=3，求线段BE的长．（要求：第（2）问重新画图解答）考点：两点间的距离；直线、射线、线段。专题：作图题；分类讨论。分析：（1）在射线BM上截取线段BD，则BD′=b或BD=b即为所求；（2）由于点D与线段AB的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①点D在线段AB的延长线上，则BE=AB﹣AE=1；②点D在线段AB的延长线上，则BE=AB﹣AE=4．解答：解：（1）（点D和点D′各1分）（2）∵E为线段AD的中点，∴．如图1，点D在线段AB的延长线上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB+BD=8．∴AE=4．∴BE=AB﹣AE=1．如图2，点D在线段AB上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB﹣BD=2．∴AE=1．∴BE=AB﹣AE=4．综上所述，BE的长为1或4．故答案为：1或4．点评：本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段之间的和差关系及分类讨论的思想．34．如图，已知C是线段AB上一点，点D和点E分别是AC、CB的中点，若AC=4cm，CB=3cm，求线段DE的长．考点：两点间的距离。分析：根据图示找出DE与AC、CB的数量关系，然后将已知数值代入解答即可．解答：解：∵点D是AC的中点，AC=4cm，∴DC=AC=2cm；又点E是CB的中点，CB=3cm，∴CE=CB=1.5cm；∵DE=DC+CE，∴DE=3.5cm．点评：本题主要考查了两点间的距离的计算，在解答此题时，采用了数形结合的数学思想．35．已知，如图，点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=14cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．
考点：两点间的距离。分析：由已知条件可知，MN=MC+NC，又因为点M、N分别是AC、BC的中点，则MC=AC，NC=BC，故MN=MC+NC=（AC+BC）=AB．解答：解：∵AC=6cm，BC=14cm，点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=3cm，NC=7cm，∴MN=MC+NC=10cm．点评：本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．36．在直线l上取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？考点：两点间的距离。专题：应用题。分析：此题有2种情况，作图分析：由已知条件可知，AB+BC=AC，又因为O是线段AC的中点，则OB=AB﹣AO，或OB=AB﹣OA，故可求出线段OB．解答：解：根据上图所示OB=5cm﹣OA，∵OA=（AB+BC）÷2=4cm，∴OB=1cm．或OB=AB﹣OA=5﹣（5﹣3）÷2=4cm，故线段OB的长度是1cm或4cm．．点评：本题考查了在未画图类问题中，正确画图很重要，因此能画图的一定要画图这样才直观形象，便于思维，难度较小．37．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．（2）如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：（1）根据AC+BD=AB﹣CD列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM+BN的长度，再根据MN=AB﹣（AM+BN）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB、CD的长度换成a、b即可．解答：解：（1）∵AB=10cm，CD=4cm，∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6cm，∵M、N分别为AC、BD的中点，∴AM+BN=AC+BD=（AC+BD）=3cm，∴MN=AB﹣（AM+BN）=10﹣3=7cm；（2）根据（1）的结论，
AM+BN=AC+BD=（AC+BD）=（a﹣b），∴MN=AB﹣（AM+BN）=a﹣（a﹣b）=（a+b）．点评：本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．38．已知线段AC=6cm，AB=10cm，且A、B、C、三点在同一条直线上，AC的中点为M，AB中点为N，求线段MN的长．考点：两点间的距离。专题：计算题；分类讨论。分析：此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB=AC+CB，然后根据中点的性质即可求出线段AC和AB的中点之间的距离；②当B在线段AC反向延长线上时，那么AB=BC﹣AC，然后根据中点的性质即可求出线段AC和AB的中点之间的距离．解答：解：此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB=AC+CB，而AC=6cm，AB=10cm，∴线段AC和BC的中点之间的距离为AB﹣AC=（AB﹣AC）=2cm；②当B点在线段AC反向延长线上时，此时AB=BC﹣AC，而AC=6cm，AB=10cm，∴线段AC和BC的中点之间的距离为AC+AB=（AC+AB）=8cm．故线段MN的长为：8cm或2cm．点评：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．39．如图，D是线段AC的中点，E是线段AB的中点．已知AD=2.5，BC=2．求线段AB和EC的长度考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：解答此题的关键是明确各线段之间的关系，然后根据已知条件即可求出线段AB和EC的长度．解答：解：∵D是线段AC的中点，∴AC=2AD=2×2.5=5，∵BC=2，∴AB=AC+BC=5+2=7；∵E是线段AB的中点，∴BE=AB=×7=3.5，∴EC=BE﹣EC=3.5﹣2=1.5．答：线段AB的长度是7；EC的长度是1.5．点评：此题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．40．已知线段AB=8cm，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，求线段MN的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+AB）=AB，从而可以求出MN的长度．
解答：解：∵点M是AC中点，∴MC=AC，∵点N是BC中点，∴CN=BC，MN=MC+CN=（AC+AB）=AB=4．答：线段MN的长为4．点评：本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半．41．线段AB=4cm，延长线段AB到C，使BC=1cm，再反向延长AB到D，使AD=3cm，E是AD中点，F是CD的中点，求CD和EF的长度．考点：两点间的距离。分析：结合图形和题意，利用线段的和差知CD=AD+AB+BC，即可求CD的长度；再利用中点的定义，求得DF和DE的长度，又EF=DF﹣DE，即可求得EF的长度．解答：解：CD=AD+AB+BC=3+4+1=8cm；∵E是AD中点，F是CD的中点，∴DF=CD=×8=4cm，DE=AD=×3=1.5cm．∴EF=DF﹣DE=4﹣1.5=2.5cm．点评：本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，解题的关键是运用数形结合思想．42．在一直线上顺次截，AB=BC，BD=3AB，若AB的中点M与CD的中点N的距离是5cm，求AB、CD的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：根据已知条件，AB=BC，BD=3AB，AB的中点M与CD的中点N的距离是5cm，画出图形，设AB长为x，则，CD=2x，x=5，求出x，即可解答．解答：解：设AB的长为x，由图可得，BC=x，CD=x，∵点M、N分别为AB、CD的中点，MN=5cm，∴x=5，∴x=2；∴CD=2x=2×2=4cm；答：AB=2cm，CD=4cm．点评：本题主要考查了两点间的距离，用到的知识点是中点的定义，本类题目结合已知，画出图形解答，体现了数形结合思想．43．如图，已知M是线段AB的三等分点，E是线段AB的中点，且线段AM=2cm．求线段ME的长度．考点：两点间的距离。分析：根据M是线段AB的三等分点，得AB=3AM，再根据E是线段AB的中点，求得AE的长，从而求得ME的长度．解答：解：∵M是线段AB的三等分点，
∴AB=3AM=6．∵E是线段AB的中点，∴AE=AB=3，∴ME=AE﹣AM=1（cm）．点评：此题考查了线段的三等分点和中点的概念．44．如图所示，AB=12cm，，求MN的长．考点：两点间的距离。专题：推理填空题；数形结合。分析：先根据已知条件求出AM的长，再由BM=AB﹣AM求出BM的长，由BN=BM可求出BM的长，进而可求出MN的长．解答：解：∵AM=AB=×12=，∴BM=12﹣=，∴BN=BM=×=，∴MN=MB﹣BN=．点评：本题考查的是两点间的距离，解答此类问题时要注意数形结合的应用．45．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．考点：两点间的距离。专题：方程思想。分析：先设BD=xcm，由题意得AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE和CF，再根据EF=AC﹣AE﹣CF=2.5x，且E、F之间距离是10cm，所以2.5x=10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．解答：解：设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5xcm，CF=CD=2xcm．∴EF=AC﹣AE﹣CF=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得：x=4．∴AB=12cm，CD=16cm．点评：本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想．46．如图，M、N分别是线段AC、BC的中点，若AB=12，BC=5，求MN的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。
分析：根据题意，由AB=12，BC=5，可得AC=7，又由M、N分别是线段AC、BC的中点，所以，MN=AC+BC，计算出即可；解答：解：如图，∵AB=12，BC=5，∴AC=7，又∵M、N分别是线段AC、BC的中点，∴MN=AC+BC，=×7+×5，=6；答：MN的长为6．点评：本题主要考查了两点间的距离，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，注意最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小．47．根据下列语句画图并计算：作线段AB，在线段AB的延长线上取点C，使得BC=3AB，P是BC的中点，若AB=3厘米，求AP的长．考点：两点间的距离；作图—基本作图。专题：探究型。分析：根据题意画出图形，再根据AB的长求出BC的长，由P是BC的中点可得出BP的长，再根据AP=AB+BP即可得出结论．解答：解：如图所示：∵BC=3AB，AB=3厘米，∴BC=9厘米，∵P是BC的中点，∴BP=×9=厘米，∴AP=AB+BP=3+=厘米．点评：本题考查的是两点之间的距离，根据题意画出图形，利用数形解答求解是解答此题的关键．48．如图，线段AB的长为24，C是AB的中点，D是AB的延长线上的一点，且CB：BD=3：2，求CD的长．考点：两点间的距离。专题：常规题型。分析：首先求出AC的长，又知CB：BD=3：2，且线段AB的长为24，即可求出CD的长．解答：解：∵线段AB的长为24，C是AB的中点，∴BC=12，∵CB：BD=3：2，∴BD=8，∴CD=CB+BD=20，故答案为：20．点评：本题主要考查两点间的距离的知识点，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．49．如图，C、D是线段AB上的两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，求AB的长．
考点：两点间的距离。专题：探究型。分析：根据CB=4cm，DB=7cm可求出DC的长，再根据D是AC的中点可得出AD的长，再根据AB=AD+DB即可求出答案．解答：解：∵CB=4cm，DB=7cm，∴DC=DB﹣CB=3cm．（2分）又∵D是AC的中点，∴AD=DC=3cm．（4分）∴AB=AD+DB=10cm．（5分）故答案为：10cm．点评：本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段的中点等问题的应用．50．如图，若D是AB中点，E是BC中点，①若AB=3，BC=5，求DE；②若AC=8，EC=3，求AD．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：（1）根据中点定义求出DB、BE的长度，然后即可求解；（2）先根据中点定义求出BC的长度，再求出AB的长度，然后根据点D是AB的中点即可求解．解答：解：（1）∵D是AB中点，E是BC中点，AB=3，BC=5，∴DB=AB=×3=，BE=BC=×5=，∴DE=+=4；（2）∵EC=3，E是BC中点，∴BC=2EC=2×3=6，∵AC=8，∴AB=AC﹣BC=8﹣6=2，∵D是AB中点，∴AD=×AB=×2=1．故答案为：（1）4，（2）1．点评：本题主要考查了中点的定义，线段两点之间的距离的求解，是基础题，比较简单，认准图形是解题的关键．51．点A0、A1、A2、A3、…、An（n为自然数）都在数轴上．点A1在原点A0的左边，且A1A0=1；点A2在点A1的右边，且A2A1=2；点A3在点A2的左边，且A3A2=3；点A4在点A3的右边，且A4A3=4；…．依照上述规律，回答下列问题．（1）A5A4= 5 ；（2）An+1An= n+1 ；（3）A2010A2001= 2006 ．考点：两点间的距离；数轴。专题：规律型。
分析：（1）根据所给已知条件A2A1=2，A3A2=3和数轴可以得出An+1An，根据An+1An可求A5A4；（2）根据所给已知条件A2A1=2，A3A2=3和数轴可以得出An+1An，（3）A2010A2001进行适当的转换再根据规律计算．解答：解：（1）如图所示，根据已知条件和数轴可以发现，An+1An=n+1，∴A5A4=5；（2）An+1An=n+1；（3）每相邻两偶数之间的距离为1，所以A2002与A2010之间的距离是4．A2010A2001=A2001A2002+A2002A2010，=2002+4，=2006．点评：本题主要考查数轴上两点之间的距离，根据所给已知条件找出其中的规律．52．如图：（1）分别写出数轴上A、B、C、D各点所表示的数： ﹣3，2.5，5，﹣6 ；（2）若点C与原点（原点记为点O）的距离记为|OC|．则|OC|= 5 ；|BC|= 2.5 ；（3）若数轴上M、N两点所表示的数分别为x1、x2，则|MN|= x1﹣x2 ．考点：两点间的距离；数轴。专题：计算题。分析：（1）由图可知，数轴上A、B、C、D各点所表示的数，分别为：﹣3，2.5，5，﹣6；（2）由图知，|OC|=点C的坐标﹣原点，|BC|=点B的坐标﹣点C的坐标；（3）由（2）可得，|MN|=点N的坐标﹣点M的坐标；解答：解：（1）由图可知，数轴上A、B、C、D各点所表示的数，分别为：﹣3，2.5，5，﹣6；（2）由图可得，点C表示的点为5，所以，|OC|=5﹣0=5，又点B表示的点为2.5，所以，|BC|=5﹣2.5=2.5；（3）由图可得，数轴上M、N两点所表示的数分别为x1、x2，所以，|MN|=x2﹣x1；点评：本题主要考查了数轴的认识及两点间距离的计算，明确：两点间的距离即为连接两点间的线段的长度．53．如图，已知线段AD=10cm，线段AC=BD=6cm．E、F分别是线段AB、CD的中点，求EF的长．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：根据AD=10，AC=BD=6，求出AB的长，然后根据E、F分别是线段AB、CD的中点，分别求出EB和CF的长，然后将EB、BC、CF三条线段的长相加即可求出EF的长．解答：解：∵AD=10，AC=BD=6，∴AB=AD﹣BD=10﹣6=4，∵E是线段AB的中点，∴EB=AB=×4=2，∴BC=AC﹣AB=6﹣4=2，CD=BD﹣BC=6﹣2=4，∵F是线段CD的中点，
∴CF=CD=×4=2，∴EF=EB+BC+CF=2+2+2=6cm．答：EF的长是6cm．点评：此题主要考查学生对两点间的距离这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用E、F分别是线段AB、CD的中点，分别求出EB和CF的长．54．在一直线上有A、B、C三个点，M为AB的中点，N为BC的中点，若AB=a，BC=b（a≠b）．试用a、b的代数式表示MN的长度．考点：两点间的距离。专题：计算题。分析：因为点C的位置不明确，所以分点C在线段AB的延长线上，点C在线段AB上，点C在线段BA的延长线上三种情况进行讨论求解．解答：解：①如图1，点C在AB的延长线上MN=MB+NB=；②如图2，点C在AB上MN=MB﹣NB=，③如图3，点C在BA的延长线上MN=NB﹣MB=．综上所述，MN的长度是：，或．点评：本题考查了两点之间的距离的求解，注意要分情况讨论，避免漏解．55．如图，已知线段AB=12cm，点C是AB的中点，点D在直线AB上，且AB=4BD．求线段CD的长．考点：两点间的距离。专题：分类讨论。分析：此题需要分类讨论，①当点D在线段AB上时，②当点D在线段AB的延长线上时，分别画出图形，计算即可得出答案．解答：解：∵AB=12cm，AB=4BD，∴BD=3cm，①当点D在线段AB上时，CD=AB=3cm；②当点D在线段AB的延长线上时，CD=CB+BD=AB+AB=9cm．点评：此题考查了两点间的距离求解，解答本题的关键是分类讨论点D的位置，有一定难度，注意不要遗漏．56．直线m上有A，B，C三点，AB=5cm，AC=15cm，M，N分别为AB，AC的中点，试求线段MN的长．
考点：两点间的距离。专题：分类讨论。分析：此题应分两种情况：（1）AB、AC在重合端点A两侧；（2）AB、AC在重合端点A同侧进行讨论求解．解答：解：此题应分两种情况…（1分）（1）如图：AB、AC在重合端点A两侧，MN=AM+AN=AB+AC=2.5+7.5=10（cm）；（2）如图：AB、AC在重合端点A同侧，MN=AN﹣AM=AC﹣AB=7.5﹣2.5=5（cm）．∴MN的长度是10cm或5cm．…（8分）点评：考查了两点间的距离，首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．57．如图，平面直角坐标系中的方格阵表示一个纵横交错的街道模型的一部分，以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，x轴，y轴的正方向分别表示正东、正北方向，出租车只能沿街道（网格线）行驶，且从一个路口（格点）到另一个路口，必须选择最短路线，称最短路线的长度为两个街区之间的“出租车距离”．设图中每个小正方形方格的边长为1个单位．可以发现：从原点O到（2，﹣1）的“出租车距离”为3，最短路线有3条；从原点O到（2，2）的“出租车距离”为4，最短路线有6条．（1）①从原点O到（6，1）的“出租车距离”为 7 ．最短路线有 7 条；②与原点O的“出租车距离”等于30的路口共有 120 个．（2）①解释应用：从原点O到坐标（n，2）（n为大于2的整数）的路口A，有多少条最短路线？（请给出适当的说理或过程）②解决问题：从坐标为（1，﹣2）的路口到坐标为（3，36）的路口，最短路线有 780 条．考点：两点间的距离；线段的性质：两点之间线段最短。专题：应用题。分析：（1）①根据题目信息，“出租车距离”等于点的横坐标与纵坐标绝对值的和，进行计算即可求解；②平面被坐标系分4个区域，在每一个区域内与原点0的“出租车距离”等于30的街区（m，n）满足m，n都是正整数，|m|+|n|=30，对于m的任意取值，n都有唯一的正整数和它对应，所以m可取30个值，n有30个值和它对应，然后即可求解；（2）①出租车从原点O到坐标（n，2）（n为大于2的整数）的街区，需走（n+2）路程，不论横坐标与纵坐标，没确定一个单位的走法，则还剩下（n+2﹣1）种走法，依次类推，进行计算即可；
②把原点坐标平移到（1，﹣2），则点（3，36）的坐标变为（2，38），然后根据①中的结论进行计算即可．解答：解：（1）①6+1=7，7；②与原点0的“出租车距离”等于30的街区（m，n）满足m，n都是正整数，|m|+|n|=30，由对称性，考虑m＞0，n＞，m依次取1，2，…30，对应的n为29，28，…，0，共30个，∴与原点0的“出租车距离”等于30的街区共30×4=120个；（2）①从原点O到坐标（n，2）的“出租车距离”为n+2，则最短路线的条数是（n+2﹣1）+（n+2﹣2）+（n+2﹣3）+…+1，=；②把原点坐标平移到（1，﹣2），则点（3，36）的坐标变为（2，38），∴“出租车距离”为2+38=40，∴=780．故答案为：（1）①7，7；②120；（2）①；②780．点评：本题考查理解题意能力以及看图能力，关键是明白怎样是“出租车距离”和路线的走法．58．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC=3cm，D是线段AC的中点，画出示意图，并推理求出AD的长．考点：两点间的距离。分析：C有可能在B的左边，也有可能在B的右边，画出相关图形，求得AC的值，进而求得AC的一半即为AD的长．解答：解：（1）∵AB=8，BC=3，∴AC=8﹣3=5，∵D是线段AC的中点，∴AD=AC=2.5；（2）∵AB=8，BC=3，∴AC=8+3=11，∵D是线段AC的中点，∴AD=AC=5.5．点评：考查线段的相关计算；判断出C两种可能的位置是解决本题的易错点．59．如图，线段AB上有两点M、N，AM：MB=3：7，MN=3，且AN比NB小2，求线段AB的长．考点：两点间的距离。专题：方程思想。分析：设AM=3x，MB=7x，则AN=3x+3，NB=7x﹣3，再由AN比NB小2可得出关于x的方程，解出即可得出x的值，代入可得出AB的长度．
解答：解：设AM=3x，MB=7x，则AN=3x+3，NB=7x﹣3，∴3x+3+2=7x﹣3，解得：x=2，∴AB=10×2=20cm．点评：此题考查了两点间的距离，属于基础题，解答本题的关键是利用方程思想，得出x的值，难度一般．60．如图，已知线段AB=14cm，C是AB上一点，且BC=8cm，（1）求线段AC的长；（2）若M是AB的中点，N是AC的中点，求线段MN的长．考点：两点间的距离。专题：数形结合。分析：（1）观察可见线段AC=AB﹣BC，又线段AB、AC已知，AB即可求解．（2）由（1）可知线段AC的长．根据题意M是AB的中点，N是AC的中点，可得到AM、AN的长．从图中可见MN=AM﹣AN，因而MN即可求出．解答：（1）解：∵AB=14cm，BC=8cm，∴AC=AB﹣BC=14﹣8=6cm；（2）解：∵N是AC的中点，∴AN=AC=3cm，∵M是AB的中点，AB=14cm，∴AM=AB=7cm，∴MN=AM﹣AN=4cm．点评：本题考查两点间的距离．解决本类题目的关键是根据题意及图象，找到所求线段与给定线段间的位置及数量关系61．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 4或16 ；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．考点：两点间的距离；数轴；一元一次方程的应用；比较线段的长短。专题：分类讨论。分析：（1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．解答：解：（1）设运动t秒时，BC=8单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+8+2t=24，解得：t=2（秒）；②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t﹣8+2t=24，解得：t=4（秒）．（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．（3）存在关系式=3．设运动时间为t秒，1°当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD﹣4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，当PC=1时，BD=AP+3PC，即=3；2°当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，①点P在线段AC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC，当PC=1时，有BD=AP+3PC，即=3；点P在线段AC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，当PC=时，有BD=AP+3PC，即=3；3°当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，当PC=时，有BD=AP+3PC，即=3；4°当＜t时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，PC=时，有BD=AP+3PC，即=3．点评：本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．
微信/支付宝扫码支付