《球面距离》教学设计及说明长沙县第一中学 李飞一．教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概念,是高中阶段研究的最后一种距离。区别于其他距离的是“球面距离”是一段圆弧的长度。学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。它不但能加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解过程中,可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)的概念，具有实质的教学意义。另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。二．教学目标和重点、难点分析“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系。结合课程标准，我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标:1.知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。 2.体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。 3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。教学难点：地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。三．教学问题诊断
这节课的授课对象是上海市示范性高中的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达能力。学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形。 本节课的教学难点是地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。对教学难点的突破我采取了三个策略：1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的球面距离的求法（例1、例2），从概念到应用之间的跨度较大。为此，我设计了一组过渡性的练习，为难点的突破作铺垫。2.学生在高一地理课上已初步了解经度和纬度的定义，但由于时间相隔较长，可能已生疏。所以在讲解例题前我运用教具和多媒体演示对地球经纬度知识作了简单回顾，以唤起学生的记忆。3．在例题2的讲解中通过师生、生生互动利用分析法引导学生寻找解决问题的途径。另外，由于球面不能展开成平面图形，教学中学生在认知上可能产生的困难及其应对策略是：1.对球面距离概念的理解——按照课程标准的规定，本节内容对球面距离概念的引入采用直接告知的做法，不要求对“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径”作出证明或说明。并且在给出概念后我设置了一组相关的辨析题来强化概念中的“大圆”和“劣弧”等关键词，同时在作业中加强训练。2.球面距离计算公式的推导——通过教师设问，以问题推进的方式引导学生得到公式。3.球小圆上两点间线段长度的计算——课本在例2中求AB的长度是把它投影到赤道平面上，但实施过程中AB的长也可以利用纬度圈这个小圆来解决，所以我预设了两种途径。同时在求AB长的方法上，我也预设了区别于教材的另一种解法，即通过解直角三角形求得。四．教学过程教学过程设计说明一．引入： 教师演示圆柱、棱柱表面上两点间的最短路径； 通过实验和类比使学生感受和了解球面距离的概念。
由学生动手探索球面上两点间的最短路径。思考：假如你要乘坐从北京直飞法国巴黎的飞机,设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程大约是多少呢?（1）在某一高度上，北京和法国巴黎间的距离是一条线段的长吗?（2）经过球面上的这两点有多少条弧呢?（3）这无数条弧长哪条最短?二． 新知构建1. 球面距离定义的给出：可以证明，通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径，我们把它的长度定义为两点间的球面距离。由于证明“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径”需要更多数学知识，学生的基础不够，所以课本表述为“可以证明”但没有给出证明。2. 强化定义，落实关键词：练习：判断图中联结A、B两点的红色曲线的长度是否A、B间的球面距离？ 3. 球面上两点的球面距离具有唯一性在定义中指出球面距离是大圆上一段劣弧的长度，所以该定义有没有涉及A、B、O三点共线的情况？在不涉及A、B、O三点共线的情况下，通过A、 B两点的球的大圆是否唯一？大圆上A、B间的劣弧是否唯一？所以两点的球面距离具有唯一性。4. 球面距离的计算：复习扇形的弧长公式，得到两点间球面距离的计算方法：（其中为∠AOB的弧度，R为球半径）练习：1．已知球O的半径为R，A、B是球面上两点。由于对此定义合理性的证明教材中没有提及，课程标准中没有要求，也不是学生在高中时必须掌握的能力，故没有纳入这节课的教学目标。这里采取和教材中相同的描述即“可以证明”的处理方式，对于感兴趣或者学有余力的学生，可在课后进一步探讨。加深对定义中的关键词：“大圆”、“劣弧”的理解。 分析教材边栏中提出的问题。
∠AOB=，求A、B两点的球面距离。 2．已知球O的半径为R，A、B是球面上两点。AB=R,求A、B两点的球面距离。 3． 已知球O的半径为R=4，A、B是球面上两点。A、B所在的小圆O’的半径r=4，∠AO’B=，求A、B两点的球面距离。 通过一组练习使学生初步掌握球面距离的计算方法，并为之后的例题解答进行铺垫。三．应用：（由玉树地震发生后的两条新闻报道引出例题）1．例1：已知地球的半径约为6371千米，玉门的位置约为东经97°北纬40°；玉树的位置约为东经97°北纬33°,求两地之间的球面距离。（结果精确到1千米）2. 从数学角度对经度和纬度知识作简单回顾。3．例2：已知地球的半径约为6371千米，西宁的位置约为东经101°北纬36°24’；济南的位置约为东经117°，北纬36°24’。求两地之间的球面距离。（结果精确到1千米）若在北纬36°24’纬线上另有一点C的位置为西经99°北纬36°24’，则在求西宁和C点之间的球面距离时如何计算？ 选择与课本例题要求一致又较贴近现实生活的例题，将教材中的例题作为课后作业安排。 由于学生高一时已经学过相关地理知识，故这里只做简单回顾，唤起学生记忆。
四.小结这节课学习了两点间的球面距离，即通过球面上A、B两点的大圆劣弧的长度。我们把空间中的边、角计算转换为平面上的问题，在扇形AOB中求出∠AOB的大小，并利用弧长公式求得两点的球面距离。并且我们运用数学知识来解决地理中的实际应用问题，计算了地球表面同经度或同纬度的两点间的球面距离。五.作业布置1. 在北纬60°纬线上有甲、乙两地，他们在纬线上的弧长为，R是地球半径，求这两点的球面距离。2. 已知上海的位置约为东经121°，北纬31°；大连的位置约为东经121°，北纬39°，试求上海和大连之间的球面距离。（结果精确到1千米）3. 已知北京的位置约为东经116°，北纬40°；纽约的位置约为西经74°，北纬40°，试求北京和纽约之间的球面距离。（结果精确到1千米）4★．球O半径为1，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别为大圆圆弧AB与AC的中点，求点E、F在该球上的球面距离。5★．思考题：已知上海的位置约为东经121°，北纬31°；巴西里约热内卢的位置约为西经43°，南纬23°；试求上海和里约热内卢之间的球面距离。（结果精确到1千米） 五．教学设计说明学生在以前的学习中经历过将“平面上两点间的最短路径是连接这两点的线段”这一概念直接引入的过程，所以我设计了通过实验和类比来了解球面距离概念的环节，并借用多媒体技术，使球面距离更直观化，让学生更好地体会将空间中的计算转换为平面上的问题求解的方法。另外，结合一定的地理知识，将地球上同经度或同纬度两点间的距离转换为数学问题，即两点的球面距离，使学生体验“由此及彼、由表及里”这一认识事物的一般过程。
为了达到教学目标，我通过设计实验、制作多媒体课件使概念更直观化；并从理解、掌握、应用三个层次进行教学，分层递进。同时，为了体现学生的主体性，以兴趣、动机、态度、思维来支撑整个学习过程，在教学中我尽可能让学生在互动中得到正确的结论，用成就感激发他们学习的热情。同时将例题的背景切换成当时发生不久的青海玉树地震时的一则新闻报道，更贴近生活，容易引起学生的兴趣和思考。通过这样的教学设计，期望学生能积极参与整个教学过程，完成教学目标并发挥主体作用。从知识结构、认知结构的完善中提高思维品质并学习如何科学的表达。对学有余力的同学可在课后探究不同经纬度的两点间球面距离的求法，拓展课堂教学。
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