高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 练习

2019-2020年高中数学3.3.2两点间的距离公式练习新人教A版必修2一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为(  )A．2B．1C．D．5[答案] C[解析] N(－1,2)，|ON|＝＝.故选C．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于(  )A．－3B．5C．－3或5D．－1或－3[答案] C[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝＝，由5＝，解得b＝－3或b＝5.3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为(  )A．(－3,1)或(7,1)B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1)D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(  )A．5B．4C．2D．2[答案] C[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(  )A．B．C．D．[答案] A[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)． ∴|CD|＝＝；故选A．6．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是(  )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] |AB|＝＝3，|BC|＝＝，|AC|＝＝，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AB|2≠|AC|2＋|BC|2.∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．二、填空题7．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2，则实数m＝_________.[答案] 1或3[解析] 由题意得＝2，解得m＝1或m＝3.8．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝_________.[答案] [解析] ＝，解得a＝.三、解答题9．求证：等腰梯形的对角线相等．[证明] 已知：等腰梯形ABCD．求证：AC＝BD．证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．则|AC|＝＝，|BD|＝＝，∴|AC|＝|BD|.即：等腰梯形的对角线相等．10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和A(1，－1)，过点A作直线l2与已知直线交于点B 且|AB|＝5，求直线l2的方程．[解析] 当直线l2的斜率存在时，设其为k，则⇒(k＋2)x＝k＋7，而k≠－2，故解得x＝，所以B(，)，又由|AB|＝5，利用两点间距离公式得＝5⇒k＝－，此时l2的方程为3x＋4y＋1＝0.而当l2的斜率不存在时，l2的方程为x＝1.此时点B坐标为(1,4)，则|AB|＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l2的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.能力提升一、选择题1．已知点A(2,3)和B(－4,1)，则线段AB的长及中点坐标分别是(  )A．2，(1,2)B．2，(－1，－2)C．2，(－1,2)D．2，(1，－2)[答案] C[解析] |AB|＝＝2，中点坐标为(，)，即(－1,2)，故选C．2．已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于，则实数m的范围是(  )A．－＜m＜2B．m＜－或m＞2C．m＜－2或m＞D．－2＜m＜[答案] B[解析] 根据两点间的距离公式|PQ|＝＝＞⇒5m2－6m－8＞0⇒m＜－或m＞2.3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于(  )A．B．C．D． [答案] C[解析] 易得A(0，－2)，B(－1，)．∴|AB|＝＝.4．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使P点到A(2,3)距离为，则P点坐标是(  )A．(5,5)B．(－1,1)C．(5,5)或(－1,1)D．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P(x，y)，则y＝，由|PA|＝得(x－2)2＋(－3)2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5，当x＝－1时，y＝1，当x＝5时，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)．二、填空题5．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是_________.[答案] [解析] 由题意得|AB|＝＝＝，所以当a＝时，|AB|取得最小值．6．已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为_________.[答案] (9,0)或(－1,0)[解析] 设P(a,0)，则＝13，解得a＝9或a＝－1，∴点P的坐标为(9,0)或(－1,0)．三、解答题7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD是长方形，则对平面内任一点M，等式AM2＋CM2＝BM2＋DM2成立．[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系． 证明：如图，取长方形ABCD的两条边AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．设长方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)、B(a,0)、C(a，b)、D(0，b)．在平面上任取一点M(m，n)，则有AM2＋CM2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，BM2＋DM2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5m，宽AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD＝5m，AB＝3m，所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1.所以x＝3.2，即BM＝3.2，即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM＝＝.