两点间曲面距离计算模型及应用

安徽农业大学学报,2003,30(3):345～348JournalofAnhuiAgriculturalUniversity①两点间曲面距离计算模型及应用王凯,张志祥,叶勇,潘善德(安徽农业大学基础科学学院,合肥230036)摘要:针对北京——底特律飞越北极新航线的开通而提出的实际问题,分别对球体和旋转椭球体情况进行讨论,根据数学上的可近似原理,建立了两点间曲面距离计算模型,并将此算法推广到最短航线的找出,从而解释了新航线节约4h左右的原因。关键词:球面距离;余弦定理;旋转椭球体中图分类号:O14114文献标识码:A文章编号:100022197(2003)03203452041问题的提出随着各国间的进一步交流与合作,加拿大和俄罗斯将允许民航班机越过北极,此改变可大大缩短北美和亚洲间的飞行时间。比如北京——底特律航班,原航线需途经:A1(北纬31°,东经122°),A2(北纬36°,东经140°),A3(北纬53°,西经165°),A4(北纬62°,西经150°),A5(北纬59°,西经140°),A6(北纬55°,西经135°),A7(北纬50°,西经130°),A8(北纬47°,西经125°),A9(北纬47°,西经122°),A10(北纬42°,西经87°)。而在新航线上,根据加拿大空中交通管制局估计,飞行时间比原航线可节约4h左右。对此作者将在数学上给出合理的解释。2模型假设(1)地球表面的凹凸不会引起飞行航线的改变;(2)飞机的飞行速度一定,高度一定;(3)飞机每次起飞与降落的时间相对飞行时间很小,忽略不计;(4)飞机的飞行航线为两地间最短曲面距离;(5)飞机油量储备充足,中途降落加油情况可不予考虑。3问题分析显然,飞机飞行时间的节约来源于航程的缩短。可以首先假设把地球看作一个球体,根据北京及底特律的经纬度计算出飞机沿着最短路径,即穿越俄罗斯和加拿大所需时间,然后与途经A1,A2,⋯⋯,A10花费的时间作比较。当然,在实际情况中,地球并非一个球体,而是近似于一个旋转椭球体,这时,通过插点求和的方法,即在通过的轨迹上插入若干个点,然后对每一段作类似于球面距离的估计,从而求出总路程。4模型的建立与计算411把地球看作球体如图1建立空间直角坐标系,其中XOY平面过赤道平面,Z轴过球心。在北半球面上任取两点A(A1,B1),B(A2,B2),其中A1,A2为A、B两地的纬度,过A、B两点分别向XOY①收稿日期:2003203214作者简介:王凯(1978-),男,助教。 346安徽农业大学学报2003年平面引垂线,交于A′、B′两点,再过A点作直线垂直于BB′,垂足为A″点。显然AA″=A′B′。设地球半径为R,则:在Rt$AOA′中,AA′=RsinA1,A′O=RcosA1在Rt$BOB′中,BB′=RsinA2,B′O=RcosA2记∠A′OB′=B为A、B两地的经度差,则在$A′OB′中222(A′B′)=(A′O)+(B′O)-2A′OõB′OõcosB2222即(A′B′)=(cosA1+cosA2-2cosA1cosA2cosB)R又A″B=B′B-B′A″=B′B-A′A=R(sinA2-sinA1)22222222从而(AB)=(AA″)+(A″B)=(A′B′)+(A″B)=(cosA1+cosA2-2cosA1cosA2cosB)R+22R(sinA2-sinA1)222设∠AOB=H,则在$AOB中,由余弦定理得:cosH=(AO+BO-AB)ö(2AOõBO)从而H=arccos(cosA1cosA2cosB+sinA1sinA2)HõPõR则AB两点间球面距离SAB=180HõPõ(R+d)设飞机飞行高度为d,飞行速度为v,则飞机在AB两地间最短航程为S′AB=,飞机航180HõPõ(R+d)行时间为TAB=180v根据实际资料及交通管制局提供数据可知,北京(北纬40°,东经115°),底特律(北纬43°,西径83°),飞机飞行高度一般为10km,飞行平均速度约为980kmöh,代入可得:SA(0,1)=1185141km,TA(0,1)=112096h;SA(1,2)=1758179km,TA(1,2)=117947h;SA(2,3)=4624141km,TA(2,3)=417188h;SA(3,4)=1339108km,TA(3,4)=113664h;SA(4,5)=641116km,TA(4,5)=016542h;SA(5,6)=53816km,TA(5,6)=015496h;SA(6,7)=651134km,TA(6,7)=016648h;SA(7,8)=497157km,TA(7,8)=015077h;SA(8,9)=227185km,TA(8,9)=012325h;SA(9,10)=2810186km,TA(9,10)=218682h;图1球面三维坐标SA(10,11)=346177km,TA(10,11)=013538hFigure1Threedimensionssphericalcoordinate图2椭球面三维坐标图3椭球面纵剖平面坐标Figure2ThreedimensionsellipticalcorrdinateFigure3Twodimensionsstraight2cutelliptical则S原=SA(0,1)+SA(1,2)+⋯+SA(10,11)=14622104kmT原=TA(0,1)+TA(1,2)+⋯+TA(10,11)=1419203h 30卷3期王凯等两点间曲面距离计算模型及应用347此即按原航线飞行的航行总路程及飞行时间。其中SA(i,j),TA(i,j)分别表示Ai至Aj的路程及飞行时间,i=0,1,⋯,11;j=0,1,⋯,11。A0表示北京,A11表示底特律。若按照新航线,飞机从北京直飞底特律,由算法可得:S新=10626180km,T新=1018437h。显然T原-T新=410766h,即新航线上飞机飞行时间比原航线节约4h左右。412把地球看作旋转椭球体在实际情况中,地球并不是一个标准的球体,而是近似于旋转椭球体。这里再进一步对旋转椭球体的情况做出讨论。在椭球面上任取一点A,设纬度为A,向赤道平面引垂线交于A′点,如图2所示,显然过$AOA′的平面交地球于椭圆面,则以此椭圆中心为原心,OA′为X′轴,原Z轴为Y′轴建立平面直角坐标系(如图3),则A点也在此椭圆上。已知A点纬度为A,即∠AOA′=A,设OA=r(A)则A′O=r(A)cosA,AA′=r(A)sinA即在平面直角坐标系X′OY′中,A点坐标为(r(A)cosA,r(A)sinA),设地球赤道半径为akm,子午线短半轴为bkm,则图中椭圆方程为:22(x′)(y′)2+2=1ab222222又A点在此椭圆上,代入坐标可求得r(A)=ab-asinA-bcosA从而在地球北半球上任取两点A(A1,B1),B(A2,B2),其中A1,A2为A、B两点的纬度,B1,B2为A、B两点的经度。由于赤道半径与极地半径相差较小,故在A、B相距不远的情况下,AB两点间的曲面距离可近似看作球面距离,为减少误差,球半径可取A、B两点与球心距离的平均值,即lr(A1)+r(A2)r=2当A、B距离较远时,可在A、B间的球面曲线上插入若干点,分别计算这些点之间的近似曲面距离,即球面距离,再求和,即可得到A、B间曲面距离的较精确的值。显然,点插入得越多,则越精确。当插入的点之间的距离无限小时,此极限即为A、B间曲面距离的精确值。下面进一步讨论插点的方法:仍然考察A(A1,B1),B(A2,B2),A1,A2仍表示A、B两点的纬度,B1,B2分别表示A、B相对于X轴的经度差(以逆时针为正),则可得A、B两点的三维坐标:A(r(A1)cosA1cosB1,r(A1)cosA1sinB1,r(A1)sinA1)B(r(A2)cosA2cosB2,r(A2)cosA2sinB2,r(A2)sinA2)由此可计算得过$AOB的平面方程Ax+By+Cz+D=0,又此平面经过原点,故D=0。即方程Ax+By+Cz=0(1)222xyz而椭圆球面方程为2+2+2=1(2)aab由(1)、(2)可确定AB的方程,从而插点时在此方程中选取若干点即可,再求出AB的曲线距离。根据资料可知地球赤道半径为6378km,子午线短半轴为6357km。由算法可得:SA(0,1)=1185139km,TA(0,1)=112085h;SA(1,2)=1757195km,TA(1,2)=117938h;SA(2,3)=4720198km,TA(2,3)=417153h;SA(3,4)=1336143km,TA(3,4)=113636h;SA(4,5)=639127km,TA(4,5)=016523h;SA(5,6)=536194km,TA(5,6)=015479h;SA(6,7)=649190km,TA(6,7)=016632h;SA(7,8)=496120km,TA(7,8)=015063h;SA(8,9)=226170km,TA(8,9)=012313h;SA(9,10)=2808139km,TA(9,10)=218657h;SA(10,11)=345163km,TA(10,11)=013527h则S原=SA(0,1)+SA(1,2)+⋯+SA(10,11)=14602178kmT原=TA(0,1)+TA(1,2)+⋯+TA(10,11)=1419008h 348安徽农业大学学报2003年此即按原航线飞行的航行总路程及飞行时间。其中SA(i,j),TA(i,j)分别表示Ai至Aj的路程及飞行时间,i=0,1,⋯,11;j=0,1,⋯,11。A0表示北京,A11表示底特律。若按照新航线,飞机从北京直飞底特律,由算法得:S新=1055119km,T新=1017673h,显然T原-T新=411335h。即新航线上飞机飞行时间比原航线节约4h左右。5小结与分析由最终结果可以看出,本文计算结果基本上与空中交通管制局的估计吻合。本文中利用插点法,其中必然存在一定的误差,但由此可以进一步推广,根据这个算法,得到计算曲面距离的积分形式。参考文献:[1]刘宗仁,朴永俊1拟距离空间上非线性映射的不动点定理及迭代逼近的收敛性[J]1河南科学,1991,9(3):7～14[2]徐定华,李明忠1椭圆型方程Cauchy问题的条件稳定性[J]1应用数学学报,2001,24(2):314～317[3]张彩明1一个构造插值曲面方法中存在的错误[J]1数值计算与计算机应用,1989,10(4):248～252[4]王艳春,许有信1参数曲面的离散求效方法[J]1南京航空学院学报,1990,22(4):34～42[5]施浒立,颜毅华1广义插值及其应用[J]1杭州电子工业学院学报,2001,21(3):16～22MathematicalModelandItsApplicationtoCalculatingtheDistanceofaCurvedSurfacebetweenTwoPointsWANGKai,ZHANGZhi2xiang,YEYong,PANShan2de(CollegeofFundamentalSciences,AnhuiAgriculturalUniversity,Hefei230036)Abstract:ThisessayfocusesonthepracticalproblemsarisingfromtheopeningofthenewairroutebetweenBeijingandDetroit,whichgoesovertheNorthPole.Ithasdiscussedthedifferentconditionsofaglobeandaspinningellipsoid.AccordingtotheApproximationtheory,ithasestablishedamathemati2calmodelwithwhichonecanfigureoutthedistanceofacurvedsurfacebetweentwopoints.Theauthorintroducesthiscalculationmethodforfindingouttheshortestairroute,soitexplainswhythisnewairroutecansavealmost4flighthours.Keywords:thedistanceofsphericalsurfaces;thecosinelaw;spinningellipsoid