高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 同步练习1

《2.1.5 平面上两点间的距离》同步练习知识点一 两点间距离公式的正用1．已知点A(1，3)，B(2，6)，则AB等于__________．解析：AB＝＝.答案：2．三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(3，7)、B(5，－1)、C(－2，－5)，则AB边中线CD的长是__________．解析：由中点公式求出AB边的中点D坐标(4，3)，再由两点间的距离公式求出CD.答案：103．光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0以后，再反射到一点B(2，15)．(1)求入射线与反射线的方程；(2)求这条光线从A到B的长度．解析：(1)设A点关于直线l的对称点为A1(x0，y0)，由直线AA1与已知直线垂直，且AA1中点也在直线上，则有解得x0＝3，y0＝－3，即A1(3，－3)．于是反射光线方程为＝，即18x＋y－51＝0.同理B1(14，－1)，入射光线方程为6x＋17y－67＝0.(2)光线从A到B的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝＝5.知识点二 两点间距离公式的逆用4．已知点M(a，0)到点A(5，12)的距离为13，则a的值为__________． 解析：由两点间的距离公式得＝13，解得a＝0或10.答案：0或105．与两点A(－2，2)，B(2，4)等距离，且在坐标轴上的点的坐标是__________．解析：设点P(a，0)或(0，b)由两点间的距离公式计算．答案：和(0，3)综合点一 两点间距离公式的综合应用6．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，则AB的最小值是__________．解析：由两点间的距离公式得AB＝＝＝≥.答案：7．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为__________．解析：A(－3，5)关于x轴对称点A′(－3，－5)，故A到B的距离即为A′B＝＝＝5.答案：58．过点P(2，1)作直线l交x，y正半轴于A，B两点，当PA·PB取到最小值时，求直线l的方程．解析：设直线l的方程为：y－1＝k(x－2)，(k≠0)令y＝0，解得x＝2－；令x＝0，解得y＝1－2k， ∴A，B(0，1－2k)，∴PA·PB＝＝≥＝4.当且仅当k2＝1即k＝±1时，PA·PB取到最小值．又根据题意k＜0，∴k＝－1.所以直线l的方程为：x＋y－3＝0.综合点二 两点间距离公式在几何证明题中的应用9．已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，求证：△ABC为等腰直角三角形．证明：根据两点向距离公式可得．AB＝＝2，BC＝＝2，CA＝＝2，∴AB＝CA，且AB2＋CA2＝BC2，故△ABC为等腰直角三角型．综合点三 两点间距离公式在实际生活中的应用10．甲船在某港口东50km，乙船在同一港口的东14km，南18km处，那么甲乙两船的距离是__________．解析：以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50，0)，乙船坐标为(14，－18)，由两点间距离公式得甲乙两船的距离为＝18.答案：1811．已知0