4.3.2空间两点间的距离公式
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程和方法.2.掌握空间两点间的距离公式.3.能够应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.
空间两点间的距离(1)公式：已知空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=____________________________.(2)特殊情况：空间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为|OP|=____________.
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为a.()(2)空间两点间的距离公式与两点顺序有关.()(3)点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1.()(4)在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴的距离分别等于相应坐标的绝对值.()
提示：(1)错误.点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为|a|.(2)错误.空间中两点间的距离与两点的顺序无关.(3)正确.(4)错误.在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离分别是答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)已知A(-1,2,3),B(-1,4,-2),则|AB|=.(2)已知A(-2,1,m),B(-2,2,0),若|AB|=1,则m=.(3)点M(2,-3,5)到x轴的距离是.
【解析】(1)答案：(2)因为所以1+m2=1,所以m=0.答案：0(3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)，所以答案：
空间两点间的距离公式观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为
探究1：观察公式,探究以下问题(1)空间两点间的距离公式有何特征?提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和的算数平方根.(2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么关系?提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标.
探究2：结合空间两点间的距离公式,探究式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2的几何意义是什么?提示：式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2表示两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)距离的平方.
【拓展延伸】空间两点间的距离公式的几何意义空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离当OP为定值时,=r(r>0)的几何意义是以原点O为球心,以r为半径的球面.
【探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明(1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广.(2)公式的推导是转化成平面内两点之间的距离,结合勾股定理推出的.(3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以改变.
类型一空间两点间的距离公式尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间距离的步骤.1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于()2.设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解.2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.
【解析】1.选B.因为点B坐标为(0，2，3)，所以故选B.2.设P(a,0,0),因为|PP1|=2|PP2|,所以所以a2+2+9=4(a2+1+1),所以a=±1,即P(1，0，0)或P(-1,0,0).
【互动探究】若题2中“点P在x轴上”换为“点P在z轴上”其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】设P(0,0,c),因为|PP1|=2|PP2|,所以所以2+(c-3)2=4(1+c2+2c+1),所以所以P(0,0,)或P(0，0，).
【技法点拨】利用空间两点间距离公式求距离的两个步骤
【变式训练】在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是___________.【解题指南】设出M点坐标，利用|MA|=|MB|列式求解.【解析】设M(0,b,0),则由|MA|=|MB|得解得b=-1.即M的坐标是(0，-1，0).答案：(0,-1,0)
类型二空间两点间距离公式的应用通过解答下列与两点间距离公式应用有关的题目,试总结两点间距离公式在几何上的应用.1.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
2.如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M为BD′的中点,点N在A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求|MN|.
【解题指南】1.先利用空间两点间距离公式求出三角形的三边长，再根据三角形的三边确定三角形的形状.2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后根据题目中的条件求出点M，N的坐标，最后利用空间两点间距离公式即可求出|MN|.
【解析】1.选C.因为|AB|2=|AC|2+|BC|2,又|AB|，|AC|，|BC|两两不等，所以△ABC为直角三角形，故选C.
2.以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系.因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a),D′(0,0,a).由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′,所以
因为|A′N|=3|NC′|,所以N为A′C′的四等分点,从而N为O′C′的中点，故根据空间两点间的距离公式，可得
【技法点拨】两点间距离公式在几何中的应用(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中.②定坐标：在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐标.③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长.(2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长.②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状.
【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.(2)充分利用几何图形的对称性.
【变式训练】四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的点P,使得∠SPD是直角?
【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0).设P(1,x,0)(0
微信/支付宝扫码支付