4.3.2空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中，两点Z间的距离公式是学生已学的知识,不难把平而上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角处标系小的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的風掏亠到空间氏角坐标系屮的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,i•为半径的球面.学生是不难接受的，这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1•学握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法，培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与处标轴平行的特殊长方体的顶点的处标,类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，培养积极参与、人胆探索的精神.重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1•距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点Z间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点Z间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2•我们知道擞轴上两点间的距离是两点的处标之差的绝对值，即d=lxrx2l；平面玄角坐标系屮，两点之间的距离是d二/兀2-")2+(儿一儿)2.同学们想，在空间直角坐标系屮，两点Z间的距离应怎样计算呢？又冇什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角处标系中，两点Z间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点，它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一•块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的依据.④同学们想,在空间肓角坐标系中，你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生凹忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生Z间町以相互交流讨论，学生有困难教师点拨•教师引导学生考虑解决问题的思路,要全而考虑，人胆猜想，发散思维.①学生冋忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题，可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义，直接度量，显然是不可以的，我们可以转化为立体儿何的方法，也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角处标系中，两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤为牛回忆刚刚序过的知识，大胆类比和猜想;⑥利川③的道理，结合空间直角坐标系和立体儿何知识，进行推导.
讨论结果：①平面直角坐标系中，两点Z间的距离公式是心/兀2-州)2+()，2-风)2，它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点，过A作AB丄xOy平面,垂足为B,过B分别作BD丄x轴,BE丄y轴，垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD二x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形，所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=J/+),,2+八.③利用求长方体的对角线长的方法，分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中，两点Z间的距离公式是心』(兀2—“)2+02—)』，是同名坐标的差的平方的和再开方，所以我们猜想，空间两点之间的距离公式是d二/兀2-坷F+(儿-尸+(5-可尸，即在原来的基础上，加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心，「为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球而;后者正是前者的推广.⑥如图2,设P1(xbyI,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点，我们来计算这两点之间的距离.我们分别过PR作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(xi,yi,0),N(X2,y2,0),于是可以求出IMNI=J。？一兀i尸+()S—儿尸•再过点P】作P】H丄P2N,垂足为H侧IMP]l=lzil,INP4lz2l,所以IHP2l=lz2-Zil.在RtAP,HP2屮」P|HI=IMNI二J(兀2—坷)2+()?2—儿)2，根据勾股定理，得IP1P2I=J|片HF+IHP?F=J(“—七)2+(兀一儿)2+(可—Z2)2•因此空间中点P1(x|,y1,z1),P2(X2,y2,Z2)之间的距离为IPiP2l=-力尸+匕]一乞)，•于是空间两点Z间的距离公式是Tg一坷)2+(九一X)2+(Z2-◎)2•它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1已知A(3,3,1),B(1,O,5),求：
(1)线段AB的中点如标和长度；⑵到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路，已知的两点A、B都是空间肓角坐标系屮的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可•知识本身不难，但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:⑴设M(x,y,z)是线段AB的中点，则根据中点绝标公式得3+13+035+1rr.1n—丄.r3.rx==2,y==—,z==3.所以AB的中点坐标为(2,—,3).22222根据两点间距离公式，得d(A,B)=J(1一3尸+(0—3尸+(5—1尸=V29,所以AB的长度为历.(2)因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等,所以有下面等式：J(兀_3)2+(y_3)2+(Z_1)2=J(兀_1)2+(y_0)2+(z—5)2.化简得4x+6y-8z+7=0,因此，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过木题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点朋标公式和两点间的距离公式是平面上中点处标公式和两点间的距离公式的推广，而平面上屮点坐标公式和两点间的距离公式乂可看成空间屮点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面.变式训练在z轴上求一点M,使点M到点A(l,0,2),B(l,・3,l)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得IMAI=IMBI,J(0—1尸+(0—0)2+(z+2尸二J(0—I)?+(0+3)2+(0+3尸+(z—1尸，整理并化简，得z=・3,所以M(0,0,-3).例2证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的AABC是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路，证明AABC是一等腰三角形，只需求出IABI,IBCI,ICAI的长，根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得：IABI二J(7_4)2+(1_3尸+(2_1)2=2V7,IBCI=J(5-7尸+(2-1)2+(3-2)2=拆,ICAI=7(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=^6.山于IBCI=ICAI=V^，所以AABC是一等腰三角形.点评:判断三介形的形状一般是根据边氏来实现的，因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.
变式训练三角形AABC的三个顶点坐标为A(1,・2,・3),B(・1,・1,・1),C(O,O,・5),试证明AABC是一直角三角形.活动：学牛先思考或交流撚后解答擞师及时提示引导，要判定AABC是一直角三角形，只需求出IABI,IBCI」CAI的长，利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,・2,・3),B(・1,・1,・1),C(O,O,・5),所以IABI=J(l+l)2+(_2+l)2+(_3+l)2=3,IBCI二J(0+l)2+(0+1)2+(-5+1)2=3a/2,ICAI=J(l—0)2+(—2—0)2+(—3+5尸=3乂因为IABl'+ICAIUbCI］所以△ABC是直角三角形.例3已知A(x,5・x,2x・l),B(l,x+2,2・x),则IABI的最小值为()V35小58A.OB.C.—D.—777活动：学生阅读题目，思、考解决问题的方法，教师提示，要求IABI的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出IABI,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出IAB啲最小值.解析:IABI二J(x—1)2+(3—2兀)2+(3兀一3尸=V14x2-32x+19』4(冷+甞琴当嗚时的最小值为竽故止确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次两数求最值是常丿IJ的方法.知能训练课木本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P—ABC(如图4),PA丄平面ABC,在某个空间直角处标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角.解:根据已知条件，画空间直角坐标系如图3：
以射线AC为y轴正方向，射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系0—xyz,过点B作BE丄Ox,垂足为E,VB(V3m,m,0),A玖巧m,(),()).在RtAAEB中,ZAEB=90°,IAEI=V^m,IEBI=m,IEBImV3Atanz^BAE==—f=—=••:ZBAE=30°,IAEIV3/7?3即直线AB与x轴所成的较小的角为30。.课堂小结1•空间两点间的距离公式的推导与理解.2•空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直介坐标系，综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3A组3,B组1、2、3.设计感想木节课从平而肓角坐标系屮两点之间的距离公式入手，创设问题情景，不难把平面上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维，在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，用一•题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新和神，本节课的设计通过适当的创设悄境，调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学住为主体的指导思想•把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.
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