高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 教学设计

高中数学北师大版（必修二）畅言教育《空间两点间的距离公式》◆教材分析本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。◆教学目标【知识与能力目标】理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。【过程与方法目标】通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。【情感态度价值观目标】用心用情服务教育 高中数学北师大版（必修二）畅言教育培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。◆教学重难点◆【教学重点】空间两点间的距离公式和它的简单应用。【教学难点】空间两点间的距离公式的推导。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是d=（x2-x1）2+（y2-y1）2，同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）长方体的对角线及其长的计算公式①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图)②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长d=a2+b2+c2..注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。(②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。（2）两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z1-z2）2用心用情服务教育 高中数学北师大版（必修二）畅言教育注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。（①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；（②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离OP=x02+y02+z02.三、质疑答辩，发展思维1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。解析：如图分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，∵N为CD1的中点，∴N（32，3,1）。M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)。由两点间距离公式，得MN=（32-1）2+（3-1）2+（1-2）2=212。2、思考：怎么求空间两点间的距离？解：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标。确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定。3、例题例1已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)。求△ABC中最短边的边长。用心用情服务教育 高中数学北师大版（必修二）畅言教育解：由空间两点间距离公式得：AB=（1-2）2+（5-3）2+（2-4）2=3BC=（2-3）2+（3-1）2+（4-5）2=6AC=（1-3）2+（5-1）2+（2-5）2=29∴△ABC中最短边是BC，其长度为6.例2在z轴上求一点使得它到点A(4,5,6)与到点B(－5,0,10)的距离相等。解：由题意可知，设该点的坐标P为(0,0，z)，则PA=4-02+5-02+6-z2，PB=（-5-0）2+（0-0）2+（10-z）2，又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0,0,6)。4、巩固练习（1）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为面A1B1C1D1的中心，求证：AP⊥PB1(用坐标法)。解析：如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P（12，12，1）由两点间的距离公式，可得PA=1-122+0-122+0-12=62,PB1=1-122+1-122+1-12=22B1A=1-12+0-12+0-12=2∴|AP|2＋|PB1|2＝|AB1|2，用心用情服务教育 高中数学北师大版（必修二）畅言教育∴AP⊥PB1。（2）已知点P到坐标原点的距离等于2，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标。解：由题意可知P点的坐标为(x，y，z)。所以0P=x2+y2+z2=23又x＝y＝z，所以3x2=23所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2.所以该点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)。四、课堂小结：（1）长方体的对角线及其长的计算公式①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图)②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长d=a2+b2+c2.（2）两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z1-z2）2五、作业布置：课后书面作业：第95页练习。◆教学反思略。用心用情服务教育