高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点)4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)[基础·初探]教材整理1 空间直角坐标系阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面9/9 画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系2.空间中一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)．(  )(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)．(  )(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．(  )(4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．(  )【解析】 (1)错误．x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.(2)、(3)、(4)正确．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√教材整理2 空间两点间的距离公式阅读教材P136“练习”以下至P137部分，完成下列问题．1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝.2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝.在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________．【解析】 |AB|＝9/9 ＝，∴(3－m)2＝100,3－m＝±10.∴m＝－7或13.【答案】 －7或13[小组合作型]空间中点的坐标的确定 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知FM＝、FN＝，则F点坐标为.点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为.由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝、CK＝.∴DK＝.故H点坐标为.9/9 1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．[再练一题]1．在棱长都为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标.【解】 取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连接OA，OO1，根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且OA＝×2＝，以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则正三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标分别为：A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).求空间对称点的坐标 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．【精彩点拨】 对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．9/9 【自主解答】 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z).[再练一题]2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.【解】 由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M39/9 的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)．[探究共研型]空间两点间的距离探究1 已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)，请求出P、Q之间的距离．【提示】 |PQ|＝＝.探究2 上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．【提示】 设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)． 如图431所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．图431【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点M、N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．【自主解答】 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，∵N为CD1的中点，9/9 ∴N.M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN|＝＝. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[再练一题]3．如图432所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图432【解】 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．9/9 ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝＝，|EF|＝＝.1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(  )A．(－1,0,1)，(－1,2,0)B．(－1,0,0)，(－1,2,0)C．(－1,0,0)，(－1,0,0)D．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】 点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A(－1，2,1)在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．【答案】 B2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(  )A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称9/9 D．以上都不对【解析】 点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．【答案】 A3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．【解析】 设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．【答案】 (4,0，－1)4．设A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.【解析】 由|AB|＝＝11，解得z＝7或－5.【答案】 7或－55．VABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.【解】 以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，∴点V的坐标是(0,0,3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．9/9