铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构11．6空间直角坐标系与两点间的距离【知识网络】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标．3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离．【典型例题】[例1]（1）在空间直角坐标系中，点（1，2，－3）关于x轴的对称点的坐标是()A．（1，－2，3）Ｂ．（－1，2，3）Ｃ．（－1，－2，3）Ｄ．（1，－2，－3）（2）已知点A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O为坐标原点，则O，A，B三点A．可以构成直角三角形B．可以构成钝角三角形C．可以构成锐角三角形D．不能构成三角形（3）已知线段AB两端点坐标为A（2，－3，4），B（2，5，－3），则与线段AB平行的坐标平面（）A．是xoy平面B．是yoz平面C．是xoz平面D．不存在（4）点A（1，0，1），AB中点坐标为（3，－4，9），则B点坐标是．（5）与两点M（1，0，0），N（－1，0，0）等距离的点的坐标（x,y,z)满足的条件是．[例2]已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构[例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），（1）求面对角线的长度；zyx(C)oBAC1B1A1（2）该三棱柱是否有外接球？若有，求出球的方程，若没有，说明理由．[例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积．
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铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构【课内练习】1．在空间直角坐标系中，点（1，－1，2）关于y轴的对称点的坐标是()A．（1，－1，2）Ｂ．（－1，1，2）Ｃ．（－1，－1，－2）Ｄ．（－1，1，－2）2．点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0）B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5）C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5）D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0）3．在空间直角坐标系中，线段AB的中垂面是yoz平面，点A（1，2，3），则点B的坐标是（）A．（－1，2，3）B．（1，－2，3）C．（1，2，－3）D．（1，－2，－3）4．在xoy平面内，到点（1，－1，2）距离等于3的点的轨迹是（）A．一点B．一条直线C．两条平行线D．一个圆5．点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是．
6．已知两点A（0，－2，3），B（2，1，x），|AB|=5，则x等于．7．在y轴上任意一点M到点N（－2，1，3）距离的最小值是．8．已知三点A（－1，1，2），B（1，2，－1），C（a，0，3），这三点能共线吗？若能共线，求出a的值；若不能共线，说明理由．9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，部分顶点的坐标分别是A（－1，－1，－1）B（－1，3，－1）C（4，3，－1）A1（－1，－1，3）求C1、D1点的坐标．
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构10．对于任意实数x、y、z，求的最小值．
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构11．6空间直角坐标系与两点间的距离A组1．在空间直角坐标系中，点（2，－1，0）关于yoz平面的对称点的坐标是()A．（2，－1，0）Ｂ．（－2，1，0）Ｃ．（－2，－1，0）Ｄ．（2，1，0）2．已知点A（1，2，3），B（x,y,z)，若线段AB与xoz平面平行，则一定有（）A．x=1B．y=2C．z=3D．x=1且z=33．点（a,b,c)与点（－a,－b,c)一定关于（）A．x轴对称B．yx轴对称C．z轴对称D．平面xoy对称4．在z轴上到两点A（－4，1，7），B（3，5，－2）距离相等的点是．5．点A（－2，1，－3）到x轴的距离是．6．试利用空间两点间距离公式，求底面边长为1，高为1，的正六棱柱的对角线的长．
7．已知P（1，0，0）、Q（0，0，1）、R（0，1，0）、S（1，1，1，），求以点PQRS为顶点的三棱锥的外接球的方程．8．已知点A（1，1，0），对于oz轴正半轴上任意一点P，在oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由．
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铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构B组1．在空间直角坐标系中，点（3，－4，5）关于原点的对称点的坐标是()A．（3，4，－5）Ｂ．（－3，4，5）Ｃ．（3，4，5）Ｄ．（－3，4，－5）2．在空间，所有到定点M的距离等于1的点构成（）A．两个点B．一条直线C．一个平面D．一个球面3．在空间，方程y=2的几何意义是（）A．一条直线B．一个平行于y轴的平面C．一个垂直于y轴的平面D．一个球面4．点（3，－4，－5）到xoy平面的距离是．5．已知两球的方程分别为：（x－2)2＋(y－1)2＋(z＋1)2=4,（x－4)2＋y2＋(z＋1)2=1,那么这两球的位置关系是．6．已知三角形三个顶点A（1，－2，－3），B（－1，－1，－1），C（0，0，－5）．求证：△ABC为直角三角形．7．若平面α经过线段AB的中点，且线段AB⊥平面α，则称α是线段AB的中垂面．若已知A（－1，0，2），B（3，2，0），求线段AB的中垂面与oz轴的交点坐标．8．若球（x－1)2＋(y＋2)2＋(z＋1)2=9被平面z=a所截圆的面积大于π，求实数a的取值范围．
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铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构11．6空间直角坐标系与两点间的距离【典型例题】[例1]（1）A．提示：点(a,b,c)关于x轴的对称点是(a,－b,－c)．（2）A．提示：|AO|＋|BO|=|AB|．（3）B．提示：（x1,y1,z1)与（x2,y2,z2)中，x1=x2．（4）（5，－8，17）．提示：用中点坐标公式．（5）x=0．提示：所求点集是yoz平面．例2、因直径两端点关于球心对称，设另一端点的坐标为（x,y,z)则=1，x=3；=1，y=0；=2，y=2．故直径的另一个端点的坐标为（3，0，2）球的半径r2=(1＋1)2＋(1－2)2＋(2－2)2=5球的面积为20π．.例3、（1）由题知直三棱柱ABC—A1B1C1中，C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），得A（0，1，0），B1（1，0，1），C1（0，0，1）由两点间的距离公式知，面对角线A1B与AB1的长为面对角线A1C与AC1及BC1与B1C的长均为（2）解法一记A1B与AB1交点为E，A1C与AC1交点为F，在△A1BC中，EF∥BC，而BC⊥面A1CAC1，∴EF⊥面A1CAC1，四边形A1CAC1为矩形，直线EF上的任意一点到A1、C、A、C1距离相等；又∵四边形AA1B1B为矩形，E到A、A1、B1、B四点距离相等∴E点到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等，直三棱柱ABC—A1B1C1有外接球，球心在E点。由于E点是线段A1B的中点，故E点的坐标为（，，），球的半径r=球的方程为（x－)2＋(y－)2＋(z－)2=
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构（2）到点A1、C、A、C1距离相等的点，在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的直线上，该直线上的点满足y=,z=．设存在球心P（x，，）则必有PA=PB解之得：x=易验证点P到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等，直三棱柱ABC—A1B1C1有外接球，球心在P（，，）。球的半径r=A1B=球的方程为（x－)2＋(y－)2＋(z－)2=解法三同解法二，到点A1、C、A、C1距离相等的点，在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的直线上，该直线上的点满足y=,z=．同理，到B1、B、C、C1四点距离相等的点，一定在过A1B与AB1交点且与面AA1B1B垂直的直线上，该直线上的点满足x=,z=．综合得，球心为P（，，）（下略）例4、以点A为原点，面ABC所在平面为xoy面，将AB置于ox轴正半轴上，建立空间直角坐标系，如图．zyxDCBAAC=AB=2，BC=1，易求得S△ABC=×1×=A（0，0，0），B（2，0，0）C（，，0）设D（x,y,z)由DA=1得x2＋y2＋z2=1①由DC=2，得（x－)2＋(y－)2＋z2=4②由DB=2，得（x－2）2＋y2＋z2=4③
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构由①③得－4x＋4=3x=④将①④代入②得1－x＋＋－y=4y=⑤将④⑤代入①得＋＋z2=1z2=z=±∴D点到平面ACB的距离为．【课内练习】1．C．提示：点(a,b,c)关于y轴的对称点是(－a,b,－c)．2．B．提示：xoy平面内的点，z=0．3．A．提示：相当于求点关于平面的对称点坐标．4．D．提示：联想圆锥．5．（－4，1，－2）．提示：点(a,b,c)关于原点的对称点是(－a,－b,－c)．6．3±2．提示：用两点间距离公式，解方程．7．．提示：联想长方体．8．不能共线．提示：数形结合知，若ABC三点共线，则CA＋AB=CB，将坐标代入后，方程无解．9．C1（4，3，3）D1（4，－1，3）．提示：C1点与C有相同的x，与B有相同的y，与A1有相同的z．D1点与A1有相同的y和z，与C有相同的x．10．提示：原表达式是空间点（x,y,z)到（0，0，0）的距离与到（－1，2，1）的距离之和，最小值即线段的长．11．6空间直角坐标系与两点间的距离A组
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构1．C．提示：点(a,b,c)关于yoz平面的对称点是(－a,b,c)．2．B．提示：数形结合，画出一个长方体看一看．3．C．提示：取一个特殊数据，画图看规律．4．（0，0，）．提示：设出点的坐标，用两点间距离公式建立方程．5．．提示：先求A点在x轴上的射影．6．2，．提示：建立直角坐标系，确定各点的坐标，用两点间的距离公式．7．（x－)2＋(y－)2＋(z－)2=,提示：以PQRS四点为顶点构造一个正方体运算最方便．8．存在B（0，1，0）．提示：设点P、B的坐标，用勾股定理，或用三垂线定理．B组1．D．提示：点(a,b,c)关于原点的对称点是(－a,－b,－c)．2．D．提示：类比平面上圆的定义．3．C．提示：画张图观察．4．5．提示：所求距离是|－5|=5．5．相切．提示：球的方程揭示了动点到定点的距离等于定长，定点即球心，定长即半径，我们用两点间距离公式，判断两球心之间的距离与半径之和的大小关系．6．提示：证明两边长的平方和等于第三边长的平方．7．（0，0，－2）提示：平面上的点构成的集合是空间到线段两端点距离相等的点的集合，依据这一性质列方程并化简，可得平面的方程，求交点时只须令x=0，y=0．8．－4＜a＜2,提示：球心（1，－2，－1）到z=a的距离为∣a＋1∣,球的半径为3，若平面与球相交，截面圆半径为，由题知π[9－（a＋1)2]＞π,解之即得．
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