高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

2．3.2 空间两点间的距离如下图所示，一只小蚂蚁站在水泥构件点O处，在A，B，C，D，E处放有食物，建立适当的空间直角坐标系，可以告诉小蚂蚁食物的准确位置．你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗？1．若在空间直角坐标系Oxyz中点P的坐标是(x，y，z)，则P到坐标原点O的距离OP＝．2．在空间直角坐标系Oxyz中，设点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1与P2之间的距离P1P2＝．3．在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x0，y0，z0)到平面xOy的距离为|z0|，到x轴的距离为． 空间两点间的距离公式(1)已知空间中两点A、B的坐标为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则这两点间的距离为AB＝.特别地点A(x，y，z)到原点的距离为：OA＝.记忆上述公式时可以类比平面解析几何中两点间的距离公式．(2)空间两点间的距离公式的推导思路．思路一：当两点连线与坐标平面不平行时，过两点分别作三个坐标平面的平行平面，转化为求长方体的对角线长，从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可，而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得．思路二：作线段在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(3)坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：a.在立体几何图形中建立空间直角坐标系；b.依题意确定各相应点的坐标；c.通过坐标运算得到答案．知识点一 空间中两点间的距离公式1．点P到原点的距离是________．解析：由两点间距离公式可得．答案：12．在x轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点的坐标为________．解析：设x轴上的点的坐标为(x，0，0)，则由距离公式得：(x＋4)2＋|－1|2＋(－7)2＝(x－3)2＋(－5)2＋22.解得x＝－2.答案：(－2，0，0)3．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到A(1，1，1)的距离是________．解析：设P(0，0，c)，∵PO＝1，∴c＝±1.当c＝1时，PA＝；当c＝－1时，PA＝.答案：或 知识点二 空间中两点间距离公式的简单应用4．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________．解析：∵A(1，2，3)在平面yOz内的射影为B(0，2，3)，∴OB＝.答案：5．设A(3，3，1)、B(1，0，5)、C(0，1，0)，AB的中点M，则CM＝________．解析：由中点公式得M，∴CM＝＝.答案：6．已知空间三点A(0，0，3)、B(4，0，0)、C(4，5，0)，求△ABC的周长．解析：∵AB＝＝5，BC＝＝5，AC＝＝5，∴△ABC的周长为10＋5.综合点一 空间中有关距离的计算问题7．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为，则x等于________．解析：由＝，∴x＝2或－8.答案：2或－88．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．解析：AB＝2OA＝2＝2.答案：2综合点二 两点间距离公式的综合应用 9．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得：b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.∴2(a2＋b2＋c2)＝3.故PO＝＝＝.答案：10．已知A(1－t，1－t，t)、B(2，t，t)，则AB的最小值为________．解析：∵AB＝＝＝＝，∴当t＝时，ABmin＝.答案：11．在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)、B(2，0，0)、C(0，2，0)，则△ABC的面积是多少？解析：AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．则BC边上的高h＝＝，∴S△ABC＝BC·h＝×2×＝.综合点三 应用距离解决角度问题12．如图，已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中，B(m，m，0)、C(0，2m，0)、P(0，0，2n)．(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与Ox轴的正方向的夹角； (2)若M为BC的中点，n＝m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．解析：(1)如图，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.(2)连接AM、PM，∵AB＝AC＝2m，PB＝PC＝2，又M为BC中点，∴AM⊥BC，PM⊥BC.∴∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角．又n＝m，∴PA＝AM＝m.∴AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.