高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

灵活运用两点间的距离公式求解高考题求直线l上两点（x1，y1），（x2，y2）的距离时，一般使用d=.当已知直线l的斜率为k时，可以将上述公式变形为其中为直线l的倾斜角.特别地，如果求直线l被圆锥曲线所截得的弦长时，要把直线的方程代入圆锥曲线的方程.整理成关于x或y的一元二次方程时，一是要充分考虑到“Δ≥0”的限制条件，二要注意运用韦达定理的转化作用，充分体现“设而不求”法的妙用.例1（2008年江苏高考题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上.图1（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式.分析本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力.（1）由题意，可设抛物线C的标准方程为.因为点A（2,2）在抛物线C上，所以.因此，抛物线C的标准方程为.（2）由（1）可得焦点F的坐标是（，0）.又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.因此，所求直线的方程是.（3）（方法1）设点D和E的坐标分别为和，直线DE的方程为，将代人，有，解得.由，知，化简得，因此，所以4 .（方法2）设.由点及，得,所以..图1例2（2007年江苏高考题）如图2，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.图2解（1）设过C点的直线为，所以，即.设A，则=，.∵，∴.即，,∴，即∴.（2）设过Q的切线为，∵，∴，即4 ，它与的交点为M.又，∴Q.∵,∴，∴M∴点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立.由（2）可知Q，因为PQ轴，所以.因为，所以P为AB的中点.例3(2005年江苏高考题)如图3，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.图3分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式ＰＭ＝,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为等式.设P(x,y),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程.解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图4所示平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0）.由已知ＰＭ＝,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有.设P（x,y）,则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，即.4 PMNO1O2Oyx图4综上所述，所求轨迹方程为（或写成）评析本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点及分析推理、计算化简技能、技巧等.张菊江苏省南通市小海中学本文发表在《高中数学教与学》2012年第1期第44页4