空间两点间的距离公式敖学教法分析明课标分条解读现“飒法教学助»K♦（教师用书独具）•三维目标1.知识与技能（1）会推导和应用长方体对角线长公式.（2）会推导空间两点间的距离公式.（3）能用空问两点间的距离公式处理一•些简单的问题.2.过程与方法通过特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.情感、态度与价值观使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程.•重点难点重点：空间两点间的距离公式.难点：空间两点间的距离公式的推导过程.教学中教师可引导学生从已有的知识：平而直角坐标系中两点之间的距离公式，再借助于长方体顶点坐标，把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式.按方昭冰校细解用“敎素教案设计区I（教师用书独具）•教学建议教学时可以通过长方体顶点的坐标，探索并得岀空间两点间的距离公式，进一步利用勾股定理，不难得出，在空间直角坐标系中，任意一点P（x,y,z）到原点的距离为\0P\=类比平面直角坐标系中两点|'可的距离,得到空问任意两点间的距离公式.•教学流程创设问题悄境，捉出问题。引导学生回答问题，计学生掌握空间两点间的距离公式。通过例1及变式训练使学生掌握两点间的距离公式=通过例2及互动探究，使学生掌握由距离公式求点坐标。通过例3及变式训练，距离公式的综合应用巧归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识=＞完成当堂双棊达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫止理敛材自覺自测80“臭础”nn?习区♦课标解读1・会推导和应用长方体对角线长公式（重点）.2.会推导空间两点间的距离公式（重点）.3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题（难点）.
空间两点间的距离公式【问题导思】1.在空间直介坐标系中，点M(0,0,3)到原点的距离是多少？2.点N(3,0,4)到原点的距离为多少？【提示】\.\0M\-3.2・因为点N在平面xOz上，可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON|二^/32+42=5.1.长方体的对角线及其长的计算公式图2—3—10⑴连接长方体两个顶点A,C'的线段AC'称为长方体的对角线.(如图2—3—10)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么对角线长d=yla2+b2+c2.2.空间两点间的距离公式空间两点A(xPyi，zj,B(x2,y2fZ2)间的距离1的(^i—^)2+(yiyiT+(2i—z2)2.3.中点坐标公式已知点P1(XPJpZ1),卩2(兀2’力，Z2)，则线段卩1卩2的中点M的坐标为(兀1+兀2力+丿22'2Z1+Z22或展m师生互动m“知滋”介作棵究区I求空间中两点间的距离卜例U长方体ABCD—A}B}C}DX中，AB=BC=2,DQ=3,点M是5G的中点，点N是43的中点，建立如图2-3-11所示空间直和坐标系.(1)写出点D,M,N的朋标；⑵求线段MD,M/V的长度.【思路探究】先写出点的坐标,再利用距离公式求线段的长度.
【自主解答】(l)・・・A(2,0,0),3(2,2,0),"是43的中点，・・.N(2,l,0)•同理可得M(l,2,3),又D是原(2)\MD\=、/(1・OF+(2・0)?+(3・°)?=V14,\MN\=、/(1・2卩+(2・1尸+(3・OF=VTT.I规律方法I1.求准点的坐标是解答本题的关键.2・空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标・在此基础上，利用坐标间的关系代入公式求解•在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解・已知LABC的三顶点A(l,5,2),3(2,3,4),C(3,l,5),求厶ABC中最短边的边长.［解］(1)由空间两点间距离公式得:二、/(I・2)2+(5・3)2+(2•舒二3,\BC\=-7(2-3)2+(3-1)2+(4-5)2=^6,HC\=寸(1・3卩+(5・1尸+(2・5F=^29.狄帀2由距离公式求空间点的坐标・•・△)例⑴在z轴上求一点使得它到点A(4,5,6)与到点B(—5,(),10)的距离相等;求该(2)已知点P到坐标原点的距离等于2荷，H.它的x坐标、y坐标、z坐标均相等,点的坐标.【思路探究】设出点的坐标，列出相应方程，从而求解・【自主解答】(1)由题意可知，设该点的坐标为P(0,0,z),贝1」|刊|=、/(4-OF+(5-OF+(6-z)2,\PB\=^/(-5-0)2+(0-0)2+(10-z)2.X|B4|=\PB\，所以z=6f所以所求点的坐标为(0,0,6)・(2)由题意可知P点的坐标为(x,y,z)・所以m=^/x2+y2+z2=2^3.又兀二y二z,所以VI?=2书.所以兀二y二z=2或兀二y二z二・2.所以该点的坐标为(2,2,2)或(・2,・2,-2).I规律方法I1.该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体，借助于题设中的等量关系建立含参变量的有关方程(组)，利用方程(组)的观点求解其坐标，充分体现了立体几何中以数助形，以形解数的特征・2•确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题•无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算・若把本例中的(1)“在z轴上求一点”换成“在兀Qy平而内的直线2r-y=0上求一点”，其余条件不变，求相应问题.［解］设该点的坐标P为(q,2q,0),则開二、/(4・a)?+(5・2d)?+(6・6?,\PB\=V(-5-6z)2+(0-2«)2+(10-0)2.94
X|M|=\PB\,:,a=■再，
I込■距离公式的应用卜例田在兀Qy平血内的肓线2兀一尸()上确定一点M,使它到点卩(一3,4,5)的距离最小,并求出最小值.【思路探究】设出M坐标，根据距离公式列出|PM|求最小值・【自主解答】•・•点M在兀平面内的直线2x-y=0h,・•・设点M(贝！J\MP\=+3)2+(2a-4)2+52=〈5/・10°+50=、/5@・1尸+45,・••当g二1时,|MP|取最小值3^5,此时M(1,2,0)r・・.M坐标为(1,2,0)时|PM|最小，最小值为3巫.I规律方法I1.本题主要利用了距离公式表示IPM1,根据二次函数求其最小值・2•确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题•无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算・在空间直角坐标系中，求到两定点A(2,3,0),3(5,1,0)距离相等的点的坐标Pgy,z)满足的条件.【解】*/点P(x,y,z)由题意可得|必|二7(兀・2尸+0一3)2+2㊁IPB]=g5)2+6】1)2+2?•・・|列=\PB\,・・・丫(兀・2)2+0・3沪22=^/(x-5)2+(j-1)2+22,整理得6x・4y-13=0,・・•P点坐标满足条件为6兀・4丿・13=0.理思路硏題悟法去“技巧技能提升区*解析法在空间直角坐标系中的应用图2-3-12卜典例(12分)如图2-3-12所示，正方形ABCDAiiE方形ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直.点M在AC±移动，点N在BF±移动，若CM=BN=d(0G＜迈).求：⑴MN的长；(2)当a为何值时，MTV的长最小.【思路点拨】建立空间直角坐标系，将MN的长度转化为空间两点间的距离问题求解・【规范解答】(1)J平面ABCD丄平面ABEF,平面ABCDn平面ABEF=AB,
AB±BEt:.BE丄平面ABCD:.ABfBC,3E两两垂直.2分则M皆a,0,1-普a),MTV的长最小.12分【思维启迪】把几何问题通过建系找出相应的坐标转化为代数形式进行运算•课堂小结•••以B为原点，以BA.BE『BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.4分J2r专°,0)・6分1.对于空间两点间距离公式，既要学会正用求距离，乂要学会逆用求处标，学会用方程的思想求字母的值和函数思想求值.2.中点处标公式z),在空间给定JpZj),力，P点的坐标为(兀,y,则X=七+兀22yi+乃Z1+Z2隧壹练主主互动达“双标”交流学AJK*1.已知点A(2,3,5),3(—2,1,3),则旳3|等于()A.&B.2&C.^2D.2^2【解析】\AB\=、/[2・(・2)『+(3・1尸+(5-3尸=“6+4+4二回二2&.【答案】B1.已知长方体ABCD-A]B]C]D]的体对角线长为6,且底而是边长为4的正方形，则该长方体的高为()
【解析】长方体的高h=y/62-42-42=2.【答案】D1.点卩(一1,1,1)到字点的距离是・[解析]\0P\=、/(・1・0)2+(1・0)2+(1・0)2=V3.【答案】V32.已知点人(一3,1,4),则点A关于原点的对称点B,求AB的长.【解】A关于原点的对称点B的坐标为(3,・1,・4),•・•\AB\=寸(•3・3尸+(1+1尸+(4+4尸=V104=2a/26•:乍広知能检测葆下测自我評怙找“考滋”黑賈节一、选择题1.(2013-舟山高一检测)已知A(l,2,3),B(3,3,m),C(0,-1,0),D(2,一1,-1),则()A.\AB\>\CD\B.\AB\
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