例谈几何体表面两点间的最短距离 专题辅导

例谈几何体表面两点间的最短距离秦炳麟先看一个趣味数学问题，正方体木块AC1的棱长为1，蜘蛛位于A1B1的中点M处，苍蝇停留在D点，问蜘蛛应采用怎样的最短路线，才能最迅速地抓住苍蝇？本题若从立体图形考察。困难较大（如图1），如果利用正方体的平面展开图形进行分析，问题则变得十分简单。图1如图2，在展开图中，由于平面上两点间以直线距离为最短，故M至D应取直线段。图2因为MND长＝MgD长＝MefD长＝MPD长＝故MPD长为应采取的最短线路从上面这个问题中，我们可以得到启示，要计算空间图形表面两点间的最短距离，只要利用了几何体的展开图形，就能把学生所熟悉的平面图形与立几图形有机地结合起来，使问题化难为易。下举数例，我们来谈谈这种方法的应用。例1圆锥S—AB的底面半径为R，母线长SA＝3R，D为SA的中点，一个动点自底面圆周上的A点，沿圆锥侧面移动到D点，求这点移动的最短距离。解：如图3，沿圆锥母线SA剪开展成平面图形，则AD最短。 图3因为∠ASD＝。所以由余弦定理，得例2圆台的上底半径为6cm，下底半径为12cm，高为。下底面内两条半径OA与OB互相垂直，M是母线B1B上一点，且BM：MB1＝2：1，求圆台侧面上A、M两点间的最短行程。解：如图4（a），在直角梯形OO1B1B中，由公式，求得如图（b），设圆台的侧面展开扇环的中心角∠＝θ，，则θ＝，解得x＝9cm，θ＝240°。依题意得，PM＝＝12cm，∠APB＝。PA＝PB＝18cm。在△PAM中运用余弦定理得：故圆台侧面上A、M两点间的最短行程为 例3设正三棱柱的侧棱长为3，底面边长是1，沿侧面从A点到A1点，当路径AM—MN—NA1最短时，求AM与A1N所成的角。解：如图5（甲），过A作AP//A1N交B1B于P，则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角。沿侧棱AA1把三棱柱剪开展开，如图5（乙），当路径AM—MN—NA1最短时，显然M、N在线段AA1上，最短路径是AA1，由此可知，CM＝1，BN＝2，故AM＝AP＝，MP＝＝。图5所以，故AM与A1N所成的角为。例4已知圆台的上、下底面半径分别为厘米和5厘米，母线AB长为10厘米，M为AB的中点，有一绳子从M点出发，沿圆台侧面绕一周达到B点，问绳子最短是多少厘米？若绳子的长为最短时，这绳子和上底面圆周上的点的最短距离是多少？解：①沿着圆台的母线AB将圆台侧面展开，然后恢复成扇形，如图6，连结BM'，则绳子最短，因为，所以SA＝，因为SB＝SA＋AB，而AB等于10，所以SA＝10，又因为∠A'SA＝。所以在△BSM中，利用余弦定理得BM'＝（cm）。图6 ②过S点作SC⊥BM'，垂足是C。交圆弧AA'于点C'，则C'、C两点间的距离最短。因为SC＝（cm）所以评注：空间图形求表面上折线段最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系。解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决。从以上诸例不难看出，借助平面几何的知识来解决立体几何中的问题，是处理立体几何问题的最佳方法。强调这类题的训练，无疑对以学生空间想象能力的培养，创新精神的发挥，都有着十分重要的意义。