高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.1两直线的交点坐标 练习

第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）A级 基础巩固一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(  )A．－2       B．－7C．3D．1解析：因为线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，所以线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，即－2＝0，解得m＝3.答案：C2．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是(  )A.B.C.D．(2，＋∞)解析：解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得解得m∈.答案：C3．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离是(  )A．5B．2C．10D．5解析：点A(－3，5)关于x轴的对称点的坐标为A′(－3，－5)． 光线从A到B的距离是|A′B|＝＝5.答案：D4．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(  )A.B.C.D.解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.答案：C5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(  )A．－3，－4B．3，4C．4，3D．－4，－3解析：由方程组得交点B(1，2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0，①又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－，②由①②，得a＝3，b＝4.答案：B二、填空题6．点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．解析：设对称点的坐标是(x0，y0)， 则解得答案：(－4，－1)7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．解析：由3a－4b＝1，解出b，代入ax＋by－2＝0，得a(4x＋3y)＝y＋8.令解得答案：(6，－8)8．已知坐标平面内两点A(－2，2)，B(2，2)，若在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，则此时|PA|的值为________．解析：设所求点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝|PB|及两点间的距离公式，得＝，化简得8x＝8，解得x＝1，所以所求点P的坐标为(1，0)，所以|PA|＝＝.答案：三、解答题9．在平面直角坐标系中，求直线y＝2x＋1关于y＝x－2对称的直线l的方程．解：因为直线y＝2x＋1关于y＝x－2对称的直线是直线l，联立得所以直线l过点(－3，－5)．在直线y＝2x＋1上取一点A(0，1)，设点A关于y＝x－2对称的点为B(a，b)，则点B在直线l上，设AB与直线y＝x－2的交点为M，则M，所以解得所以直线l过点(－3，－5)和(3，－2)， 所以直线l的方程为＝，整理得x－2y－7＝0.10．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，即.由两点间的距离公式，得|BC|＝＝，|AM|＝＝，即|AM|＝|BC|.B级 能力提升1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(  )A.B．－C．－D.解析：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，由中点坐标公式知解得从而可知直线l的斜率为＝－.答案：B2．若一束光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为_________________________．解析：在直线2x－y＋2＝0上取点A(－1，0)，点A关于直线x＋y－5＝0的对称点为A′，设A′(m，n)， 则解得A′(5，6)，又因为直线2x－y＋2＝0与x＋y－5＝0的交点为B(1，4)，所以直线A′B的方程为＝，得x－2y＋7＝0，即为反射光线所在直线的方程．答案：x－2y＋7＝03.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m．应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图建立平面直角坐标系，则点E的坐标为(30，0)，点F的坐标为(0，20)．所以线段EF的方程是＋＝1(0≤x≤30)．在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，作PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又因为＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20＝20－m.所以S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．于是当m＝5时，S有最大值．这时＝＝5. 故当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且＝5时，草坪的面积最大．