运用两点间的距离公式求最值 两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明． 一、求函数的最值 例１ 求函数的最小值． 分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决． 解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），，． 则 ， 即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴． 评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2求函数的最小值． 分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程． 解：如图2，表示在平面直角坐标系中的动点到定点，，，的距离之和． 而中，，当且仅当点P在线段AD上时等号成立；中，，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，
所以，当且仅当点Ｐ为与的交点时，f（x，y）取得最小值，此时点P的坐标为． 二、求距离的平方和的最值 例3 已知点，，点满足y=2x，求取得最小值时点P的坐标． 分析：利用两点间距离公式将表示为的形式，再消元得一个关于x（或y）的二次函数，最后求值． 解：由已知点满足，结合两点间的距离公式，得， 当时，取得最小值3，此时点P的坐标为（1，2）． 评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数，然后通过消元转化为关于x（或y）的函数f（x）（或f（y）），再求解． 一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现．
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