2.4 点集间的距离

第五节点集间的距离第二章n维空间中的点集 点集间的距离定义b.若,则d(A,B)=0;反之则不一定成立，如A=(-1,0),B=(0,1).注：a.若x∈B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1) 证明：利用d(x,E)≤d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)z∈E例1设E为Rn中非空点集，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。可得d(x,E)≤d(x,y)+d(y,E)，同理d(y,E)≤d(x,y)+d(x,E),故有|d(x,E)-d(y,E)|≤d(x,y) 定理：设A为非空有界闭集，x∈Rn，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨又Ａ为闭集，故y∈A,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由可得 定理1：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A,y∈B,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由AB 又B为闭集，故y∈B,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而x∈A，并可得{yni}有界因为当ni充分大时，d(x,yni)≤d(x,xni)+d(xni,yni)≤1+(d(A,B)+1/ni） 例2：设F1，F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn上的连续函数f(x)，使得（1）0≤f(x)≤1，x∈Rn（2）f(x)=0，x∈F1;f(x)=1,x∈F2F2F1 例3.每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并证明：设E为闭集，取则Gn为开集，1n 再由E为闭集，可得x∈E从而每个闭集必是可数个开集的交，从而通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并. 习题