高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

4.3.2空间两点间的距离公式学案一．学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1.空间两点、间的距离公式：.2.坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案.3.对称问题，常用对称的定义求解.一般地，点P(x,y,z)关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x,y,-z)、(-x,y,z)、(x,-y,z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x,-y,-z)、(-x,y,-z)、(-x,-y,z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,-y,-z).四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.解：|AB|=6，∴，即，解得x=1或x=9.【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离.解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x,y,z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y.要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离.设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，∴P的坐标为(a-z,a-z,z)∴|PQ|==∴当时，|PQ|取得最小值，最小值为.∴异面直线间的距离为.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.【例4】在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离.解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）.过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，又ABC为正三角形，∴H为ABC的重心，可得H点的坐标为.∴|PH|=,∴点P到平面ABC的距离为点评：重心H的坐标，可以由比例线段得到.通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离.本题也可以用几何中的等体积法来求解.五．目标检测（一）基础达标1．点到的距离相等，则x的值为（）.A.B.1C.D.22．设点B是点关于xOy面的对称点，则=（）.A.10B.C.D.383．到点，的距离相等的点的坐标满足（）.A.B.C.D.4．已知，在y轴上求一点B，使，则点B的坐标为（）.A.B.或C.D.或5．已知三角形ABC的顶点A（2，2，0），B（0，2，0），C(0，1，4)，则三角形ABC是（）.A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．在空间直角坐标系下，点满足，则动点P表示的空间几何体的表面积是.7．点到x轴的距离为.（二）能力提高8．（1）已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7；（2）求点P(5,-2，3)关于点A(2,0，-1)的对称点的坐标. 9．已知、，在平面内的点M到A点与B点等距离，求点M的轨迹.（三）探究创新10．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？