2丄5平面上两点间的距离【学习FI标】1.掌握平面上两点间的距离公式、屮点坐标公式.2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题3理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.n问题导学知识点一两点间的距离已知平面上两点Pi(xpyi),啟也，力)・思考1当兀|工乳2，y\=}J2时，P】P2=?思考2当兀|=兀2，歹1工)，2时，卩1户2=?思考3当兀］工兀2，”工力时，P|P2=?请简单说明理由.梳理(1)条件:点Pig,Ji),卩2(兀2,72).(2)结论：(3)特例：点尸(兀，)，)到原点0(0,0)的距离OP=.知识点二中点坐标公式思考已知A(—l,3),C(6,-1),怎样求AC的屮点呢？梳理一般地,对于平面上的两点Pi(q,莎)，P2(x2fy2),线段P1P2的中点是Mg),yo),则{也=，旳=
题型探究类型一两点间的距离公式例1如图，已知AABC的三个顶点4(—3,1),B(3,-3),C(l,7),(1)判断ZVIBC的形状;⑵求△ABC的面积.申探究若本例中的三个点的坐标改为A(2,3),B⑵,3Z),C(5,l),对任意K1,试判斷△ABC的形状.反思与感悟(1)判斷三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.(3)利用平面上两点间的距离公式可以求点的坐标，方法：根据已知所求点.的相关信息及该点到某点的距离满足的条件，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.跟踪训练1己知点人(一1,2),B(2,羽)，在x轴上求一点P,使PA=PB,并求的值.类型二运用坐标法解决平面几何问题例2在厶ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AD2+DC2).
反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练2已知：在等腰梯形ABCD屮，AB//DC,对角线为AC和求证：AC=BD.当堂训练1.过点A(4,°)和点B(5,b)的直线和直线y=x+m平行，则.2.已知点-1),N(5,加)，RMN=2逅,则实数加=.3.已知点M(—l,3)和点N(5,l)，点P(x,y)到点M,N的距离相等，则x,y满足的条件是4.若三角形的顶点分别为4(2,一3),5(-2,-5),C(6,4),则佔边上的中线长为.5.己知点A在兀轴上，点3在歹轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4),则AB的长为.厂规律与方法■1.坐标平而内两点间的距离公式是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，己知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.2.解析法证明几何|uj题的步骤答案精析问题导学知识点一思考1P\P1=\X2—X\\.
思考2PiP2=lj2-yil.思考3如图，在Rt/\P\QP1中,PxP2=Px^+QPi>所以P|卩2=7（兀2—兀1）2+—y1）2.即两点P|（Q，刃），户2（兀2,旳）间的距离P\户2=P（兀2—兀1）2+少2—yI）2.梳理（2）P|P2=V（疋一Q尸+5—y孑（3h/?+p知识点二思考如图，设线段AC的中点M的坐标为（x,y）,过点A,M,C'向x轴作垂线，垂足分别为Ai，Mi，G，则A〕,M],G的横坐标分别为一1,兀,6.由AMi=MiCi，得兀一（一1）=6—尢，解得尸二^兮，同理得y=3+「）=],所以线段4C的中点M的坐标为A(-13)C(6-l)题型探究例1解(1)・・・AB=寸(3+3)2+(—3—1)2AC=^(l+3)2+(7-l)2=y[52f又BC=#(l—3)2+(7+3)2=Ji丽,/.AB2+AC2=BC2,且AB=AC,•••△ABC是等腰直角三角形.
引申探究解根据题意可得AB=p(2r—2)2+(3f—3)2=y[i3(l—t)9AC=^/(5-2)2+(l-3)2=VB，BC=y/(5—2f)2+(l—3f)2=y/l3(2~2t+r)t.\ab2+ac2=bc2.A/\ABC是以A为直角顶点的直角三角形.跟踪训练1解设P(x,O),则B4=^(x+1)2+(-2)2,PB=#a—2)?+(—羽几9：PA=PB,・・・p(x+1尸+4=p(兀一2了+7,解得兀=1,・・・P(1,O),・•・PA=^/(1+1)2+4=2返例2证明设BC所在边为x轴，以D为坐标原点，建立直角坐标系,如图所示，设A0,c),C(g,O),则B(—q,())・VAB2=(^+Z?)2+c2,AC2=(a—/?)2+c2,AD2=fe2+c2,DC2=a2,:.AB2+AC1=2(a2+b1+c2)fAD1+DC2=a2+b2+^,:.AB1+AC1=KAD1+DC2).跟踪训练2证明如图所示,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(ci_b,c),/.AC=yj(b—0)2+(c—0)2=y]b1+c2,
BD=yl(a-b-a)2+(c~O)2=寸/+(?2.故AC=BD.当堂训练1.V22.1或33.3x-y—4=04.105.10
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