8.1两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：1、掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；2、让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程,掌握两点间距离公式及其简单应用，会用处标法证明一些简单的儿何问题。能力目标：1、用“数形结合”的方法，介绍两个公式，培养学生解决问题的能力与计算能力。2、培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。【教学重点】两点间的距离公式及其推导与线段屮点的处标公式的运用。【教学难点】两点间的距离公式的理解。【课时安排】2课时。【教学过程】一、复习平面直角坐标系中,设人(兀|,必)，P2(x2,y2),则AE=(兀]一兀2」一旳)。二、定义我们将向量恥的模，叫做点片、鬥之间的距离，记作\p}p2\,贝I」£马|=片笃=」片卩2•Pp2=J(兀2-无1)2-(『2-开)2(8.1)例1、求A(-3,1)、B(2,-5)两点间的距离。解A、3两点间的距离为\AB|=J(_3_2)2+[l_(_5)『=阳
例2、已知点A(—1,2),B(2,V7),在x轴上求一点P,使丨PA|=IPB|,
并求丨PA丨的值。解：设所求点P(x,0),于是有|PA|=7u+1)2+(0-2)2PB\=7(x-2)2+(0-V7)2,由丨PA|=|PBI,得：x2+2x+5=x2-4x+11,解得：x=l所以，所求点的坐标为P(l,0)，且\PA\=2y[2例3、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。解：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所以的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)。设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的处标为(a+b,c),由两点间距离公式冇：IAB|2+|CD|2+|AD|2+|BCI2=2(a2+b2+c2)IACI2+IBDI2=2(a2+b2+c2)所以，|AB|2+ICD|2+IADI2+IBCI2=IACI2+IBD|2第1题图因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。练习1、请根据图形，写HlM.N、P、Q、R各点的坐标。2、在平面直角坐标系内，描出下列各点:A(l,l)、B(3,4)、C(5,7)O并计算每两点之间的距离。三、线段的中点坐标【观察】练习8.1.1第2题的计算结果显不,这说明点B是线段的中点，而它们三个点的处标ZI'可恰好存在关系丁4=1±7定义:
设线段的两个端点分别为A（xpyJ和3（兀,儿），线段的中点为MS。,儿）（如图8-1）,则AM=(x0-x1,y0-yI)MB=(x2-x0,y2-y0)由于M为线段AB的中点,则AM=MB,即(x0-xI?y0-y,)=(x2-x0,y2-y0)即兀0—兀】=尤2一兀0九一丿严力一儿标为•般地,设好（西，必）、*（兀2，儿）为平面内任意两点，则线段中点人（兀0，儿）的坐兀】+忑h+y2x0=,y()=二022例4、已知点S(0,2)、点T(-6,-1),现将线段ST(8.2)四等分，试求出各分点的坐标。分析如图8—2所示,首先求出线段ST的中点0的坐标,然后再求SQ的屮点P及QT的中点R的坐标。解设线段ST的中点Q的坐标为（勺讥）,'$十2晋12■-2图8-2•1X则由点S(0,2)、点T(-6,-1)得0+(-6).2+(-1)1即线段ST的中点为2(-3,y)。-3,3591同理，求出线段S0的中点P（——,一），线段QT的屮点o2424
3519]故所求的分点分别为P（—,—）>0（—3,―）、/?（—厂二）°24224例5、已知朋眈的三个顶点为人（1,0）、3（-2,1）、C（0,3）,试求BC边上的屮线AD的长度.解设的中点D的坐标为（％』》），则由〃（一2」）、°（°，3）得（-2）+0,1+3°xD==-1yD==2°2299故IAD1=J（_l—1）2+（2—0）2=2迈,即BC边上的中线AD的长度为2血o练习1、已知点“2⑶和点〃（8，-3）,求线段佔中点的处标。2、已知的三个顶点为川2,2）、B（-4,6）、C（-3,-2）,求ab边上的中线CD的长度。3、已知点。（仙是点P（%2）和点川3,®连线的中点,求加与川的值。小结设平面直角坐标系内任意两点恥"J、马（兀2』2）,则片（西』）、马（兀2』‘2）的距离为（证明略）I^1^2l=J（%2-Xi）'+（乃-〉i）2O设昭切）、笃（兀2』2）为平面内任意两点,则线段A巳中点人（兀。，儿）的坐标为_丹+£v_X+）；2兀（）_，〉（）_z・作业1、书而作业：教材习题8.1A组（必做）；教材习题8.1B组（选做）2、实践调查：编写一道关于求中点坐标的问题并求解。板书回顾数轴上两点间的距离公式，引导学生探究直角坐标系中两点间的距离的求解。
直角坐标系中两点间的距离公式直角坐标系中两点间的距离公式的应用用坐标法证明简单的几何问题。巩固练习，小结、作业
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