高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

4.3.2空间两点间的距离公式【学习目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题3.通过探究空间两点间的距离公式,意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,【学习重点】空间两点间的距离公式.【知识链接】距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.【基础知识】.空间中两点间的距离公式1.2.①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=.【例题讲解】图2例1.如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|= .再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得|P1P2|==.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=.于是空间两点之间的距离公式是d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【达标检测】1．点M(3,4,1)到点N(0,0,1)的距离是( A)A．5        B．0C．3D．12．空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点有( A )A．2个B．1个C．0个D．无数个3.设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于(A )A．10B．4C．6D．25．到两点A(3,4,5)，B(－2,3,0)距离相等的点M(x，y，z)的坐标满足的条件是( B )A．10x＋2y＋10z－37＝0B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0D．10x－2y＋10z＋37＝06.正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2,－1),B(3,－2,3),则正方体的体积是(C)A.16B.192C.64D.48二、填空题7．已知P(，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝0或－4.8．在空间直角坐标系下，点P(x，y，z)满足x2＋y2＋z2＝1，则动点P表示的空间几何体的表面积是_4π．三、解答题9．已知A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，求B，C两点的距离．由已知得C(1,2,1)、B(1，－2,1)∴d(B，C)＝＝4，即B，C两点间的距离为4.10．试在坐标平面yOz内的直线2y－z＝1上确定一点P，使点P到点Q(－1,0,4)的距离最小． 设P(0，y,2y－1)，则|PQ|＝＝.当y＝2时，|PQ|min＝，此时P(0,2,3)．【问题与收获】