第二课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离(习题课)1．两条直线的交点坐标如何求？略2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？略3．平面内两点间的距离公式是什么？略4．过定点的直线系方程有什么特点？略5．如何用坐标法解决几何问题？略6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？略两直线交点问题的综合应用[例1] 过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．[解] 法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx＋1.若与两已知直线分别交于A，B两点，则解方程组和可得xA＝，xB＝.由题意＋＝0，∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.法二：设所求直线与两已知直线分别交于A，B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即
B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.[类题通法]两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解．[活学活用] 若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则点(m，n)可能是( )A．(1，－3) B．(3，－1)C．(－3,1)D．(－1,3)答案：A对称问题[例2] 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程．[解] 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.[类题通法]1．点关于直线对称的点的求法点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)．可由方程组求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．[活学活用] 与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0答案：D坐标法的应用[例3] 一长为3m，宽为2m缺一角A的长方形木板(如图所示)，长缺0.2m，宽缺0.5m，EF是直线段，木工师傅要在BC的中点M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？[解] 以AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立直角坐标系，则E(0.2,0)，F(0,0.5)，B(3,0)，D(0,2)，M(3,1)，所以EF所在直线斜率k＝＝－.∵所求直线与EF垂直，∴所求直线斜率为k′＝，又直线过点M(3,1)，所以所求直线方程为y－1＝(x－3)．令y＝0，则x＝0.5，所以所求直线与x轴交点为(0.5,0)，故应在EB上截|EN|＝0.3m，得点N，即得满足要求的直线MN.[类题通法]1．用坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用] 已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.证明：如图，
以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a，0)，B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h)，由两点间的距离公式得|AC|＝＝，|BD|＝＝，所以|AC|＝|BD|. [典例] (12分)在x轴上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大，并求出最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程]
[活学活用]求函数f(x)＝＋的最小值．解：由于f(x)＝＋＝＋，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则可把问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取得最小值，作A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，连接A′B.由图可直观得出|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝＝5，即f(x)的最小值为5.[随堂即时演练]1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )A．2 B．4C．5D.答案：D2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0答案：D3．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．答案：5x－15y－18＝04．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则直线l的方程为________．答案：3x－y＋3＝05．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，即.由两点间的距离公式，得|BC|＝＝，|AM|＝＝，所以|AM|＝|BC|.[课时达标检测]一、选择题1．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )A．(－2,1) B．(－2,5)C．(2，－5)D．(4，－3)答案：B2．已知点P(a，b)与点Q(b＋1，a－1)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－1D．y＝x＋3答案：C3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )A．5B．2C．5D．10答案：C4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )A．－2B．－C．2D.答案：B5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )A．－3，－4B．3,4
C．4,3D．－4，－3答案：B二、填空题6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．答案：(－4，－1)7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．答案：(6，－8)8．已知x，y∈R，函数f(x，y)＝＋的最小值是________．答案：5三、解答题9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．解：若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，∴x＝1为所求；当l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．解方程组得交点B(k≠－2)．由已知＝5，解得k＝－.∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.10．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3千米、河北岸4千米处；B村在路东2千米、河北岸千米处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问：发电站建在何处？到两村的距离为多远？解：以小河的方向向东为x轴正方向，以路的方向向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(－3,4)，B(2，)，问题转化为在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
可设点P为(x,0)，则有|PA|＝＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.即所求点P为－，0且|PA|＝＝.故发电站应建在小路以西千米处的河边，它距两村的距离为千米．
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