空间两点间距离公式

4．3.2空间两点间的距离公式编写:陈先勇审稿:曾二高一数学组时间:2014-05-22班级_______姓名___________组名___________【课标要求】1．了解空间两点间的距离公式的推导过程．2．能运用空间两点间的距离公式解决简单的空间距离问题．【核心扫描】1．空间两点间的距离公式的应用．(重点)2．空间两点距离的最值．(难点)新知导学1．空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝.温馨提示：空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广，动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r＞0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面．互动探究探究点在空间直角坐标系中，如果点P(x，y，z)是以原点为球心，以r为半径的球内或球面上一点，那么点P的坐标满足什么条件？提示 x2＋y2＋z2≤r2.类型一 空间中两点距离的计算【例1】如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离．[思路探索] 解决本题的关键是利用底面上三角形相似确定D点的坐标．[规律方法] 利用空间两点间距离公式计算两点间的距离：一要根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上．二要正确地确定两点的坐标，本例利用平面几何中三角形相似知识确定D点坐标体现了空间与平面的转化思想．【活学活用1】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 类型二 根据距离关系确定点的坐标【例2】在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．[思路探索] 设出所求点的坐标，根据距离关系列方程组．[规律方法] 由距离关系确定点的坐标，一般设出点的坐标后，根据空间距离公式列方程(组)即可求得点的坐标．【活学活用2】点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是________．类型三 利用距离证线线垂直【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：AP⊥PB1.(用坐标法)[思路探索] 建立坐标系后，可用勾股定理证明AP⊥PB1.[规律方法] 在空间直角坐标系中，现在我们证明线线垂直的主要方法是借助勾股定理来证明垂直关系，属于计算证明的方法．【活学活用3】求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形． 方法技巧 函数思想在坐标法解决距离最值问题中的应用对于空间两点距离的最值问题，对于利用几何性质不宜解决的问题，我们常利用函数思想来解决，特别地当具备建立空间直角坐标系的条件时常采用坐标法求解．【示例】正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜)．(1)求MN的长度；(2)当a为何值时，MN的长度最短．[思路分析] 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，再利用二次函数求MN的最小值．解 因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|＝1，|CM|＝a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点M.因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|＝a，所以点N.(1)由空间两点间的距离公式，得|MN|＝＝，即MN的长度为.(2)由(1)得|MN|＝＝，当a＝(满足0＜a＜)时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为.[题后反思]对于空间两点的距离问题，首先考虑利用几何性质能否确定取得最值时点的位置，如若不能应换换思路，考虑运用函数思想求解.课堂达标1．点M(2，－2,1)到原点O的距离为(  )．A．9B．3C．1D．52．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(  )．A．－3或4B．6或2C．3或－4D．6或－23．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________． 4．设点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面xOy的对称点，则线段MN的长度等于________．5．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．课堂小结1．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P1|＝，当P1，P2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．2．建立适当的空间直角坐标系，正确地表示相关点的坐标，是运用空间距离公式的基础，函数方法是解决空间两点距离最值的常用方法． 答案解 建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)．设D(x，y,0)．在Rt△AOC中，|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝，∴|OD|＝＝.如图，过点D分别作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，则Rt△ODA与Rt△OMD相似，可得＝，∵|OM|＝x，∴|OD|2＝x·|OA|，∴x＝＝.同样地，利用Rt△ODC与Rt△ODN相似，可得y＝|ON|＝＝＝.∴D.∴|O1D|＝＝＝.解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝＝，|EF|＝＝.解 设P(0，y，z)，由题意所以即所以所以点P的坐标是(0,1，－2)．解析 因为点P在x轴上，设P(x,0,0)，则|PP1|＝＝，|PP2|＝＝.∵|PP1|＝2|PP2|，∴＝2，解得x＝±1.∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．答案 (1,0,0)或(－1,0,0)证明 如右图所示，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1， 则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)由中点坐标公式可得P，根据空间两点间的距离公式可得|AP|＝＝，|PB1|＝＝，|AB1|＝＝，所以|AP|2＋|PB1|2＝|AB1|2，∴AP⊥PB1.证明 根据空间两点间距离公式，得|AB|＝＝7，|BC|＝＝7，|AC|＝＝.因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰直角三角形．解析 |MO|＝＝3.答案 B解析 由题意得＝2解得x＝－2或x＝6.答案 D解析 设P(0,0，c)，由题意得＝解之得c＝3，∴P的坐标为(0,0,3)．答案 (0,0,3)解析 由题意知M的坐标为(2，－3，－5)∴|MN|＝|－5－5|＝10.答案 10解 由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，∴BD＝2，CD＝2，∴z＝，y＝－1.∴D(0，－1，)．又∵A，∴|AD|＝＝.