3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
目标定位重点难点1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．3．掌握两点间距离公式并会应用.重点：根据直线的方程判断两条直线的位置关系和已知两相交直线求交点；两点间距离公式的应用．难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解及两点间距离公式的推导.
唯一解平行
2．过定点的直线系方程已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示________的直线系，不包括直线l2.过点P
|x2－x1||y2－y1|
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．()(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．()(3)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．()【答案】(1)√(2)√(3)×
3．思一思：若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？【解析】不一定．两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多组解，则两直线重合．
【例1】(1)判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．①l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；②l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.(2)已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程．求两条直线的交点坐标
【解题探究】(1)题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．(2)可以先求出交点坐标求解，也可利用过交点的直线系方程求解．
8(1)判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．①解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值；②解题过程中注意对其中参数进行分类讨论；③最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1，l2交点的所有直线；②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.
1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．【解析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)．由题意知点A关于点P(0,1)的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上．由A，P两点坐标，可得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
【例2】已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．两点间距离公式的应用
8(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．
2．求过点A(1，－1)与已知直线l：2x＋y－6＝0相交于点B且|AB|＝5的直线方程．
【例3】△ABC中，D是BC边上的任意一点(D与B，C不重合)且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．坐标法的应用
8坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
3．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
【示例】若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为()A．a≠±1B．a≠1且a≠－2C．a≠－2D．a≠±1且a≠－2【错解】选A或选B.考虑问题不全面而致误
【错因】只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况或只考虑三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．
若l1∥l2，则a×a－1×1＝0，解得a＝±1，当a＝1时，l1与l2重合.若l2∥l3，则1×1－a×1＝0，解得a＝1，当a＝1时，l1，l2与l3重合．若l1∥l3，则a×1－1×1＝0，解得a＝1，当a＝1时，l1，l2与l3重合．综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2.故选D.
【警示】解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．
1．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是()A．(2,0)B．(2,1)C．(0,2)D．(1,2)【答案】C
3．若两直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0与x轴围成三角形，则实数m的取值范围是________．【答案】{m|m≠－3且m≠－2且m≠0}【解析】当直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0及x轴两两不平行，且不三线共点时，必围成三角形．当m＝－2时，(m＋2)x－y－m＝0与x轴平行；当m＝－3时，(m＋2)x－y－m＝0与x＋y＝0平行；当m＝0时，三条直线都过原点．所以m的取值范围为{m|m≠－3且m≠－2且m≠0}．
4．设光线从点A(－2,2)出发，经过x轴反射后过点B(0,1)，则光线与x轴的交点坐标为________．
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