高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

2019-2020年高一数学空间两点间的距离公式新课标人教版7学习目标主要概念：空间两点、间的距离公式----教材分析  一、重点难点本节教学重点是空间两点间的距离公式，难点是空间两点间的距离公式的推导。  二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、公式推导、思考交流三个板块组成。第一板块问题提出解读建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？在引入本节知识内容时，设置这个实际问题，其目的在于创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望，使学生亲身体验到学习数学的意义和作用，培养学生学习的自觉性。第二板块公式推导解读你能猜想一下空间两点、间的距离公式吗？如何证明？因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式。故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识。在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的过程。其目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯。第三板块思考交流解读如果|OP|是定长，那么表示什么图形？在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆，据此，学生不难将此推广到空间，得出表示以原点为球心，半径为的球面。设计此问题的目的在于让学生将此方程与圆的方程进行类比，从而得到问题的答案。类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式、定比分点公式，推广到空间直角坐标系中。拓展阅读 学习了空间直角坐标系后，我们就可在空间直角坐标系中研究空间几何图形的有关问题。用坐标法解决有关立体几何问题时，与其它方法相比，可以避免烦琐的说理、证明，因此坐标法在求解有关立体几何问题中有着较广泛的应用，特别是在学习了向量的有关知识后，如将坐标法与向量方法相结合，那在研究立体几何问题时将显得更优越。在运用坐标法求解立几问题时，只需通过建立适当的空间直角坐标系，就可把立体几何问题转化成了纯代数问题，通过简便的计算即可得出结论。坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案。下面仅举两例说明坐标法在研究立体几何有关问题时的应用。例1．在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离。xH解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，又ABC为正三角形，∴H为ABC的重心。由定比分点公式，可得H点的坐标为∴|PH|=。∴点P到平面ABC的距离为。例2．在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离。解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系。ABCDxyzPQH设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x,y,z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y。要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离。设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，∴P的坐标为(a-z,a-z,z)∴|PQ|==∴当时，|PQ|取得最小值，最小值为。∴异面直线间的距离为。网站点击 典型例题解析例1：已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值。点拨利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得。解答|AB|=6，∴即，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。变式题演练已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7。答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)。例2：求点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标。点拨根据对称的定义求解。解答设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2，-3)。总结对称问题，常用对称的定义求解。一般地，点P(x,y,z)关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x,y,-z)、(-x,y,z)、(x,-y,z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x,-y,-z)、(-x,y,-z)、(-x,-y,z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,-y,-z)。变式题演练求点P(5,-2，3)关于点A(2,0，-1)的对称点的坐标。答案：(-1,2，-5)例3：点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？点拨因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线。解答设点P的坐标为(x,y,z)。点P在坐标平面xOy内，∴z=0|PA|=5，∴，即=25，∴点P在以点A为球心，半径为5的球面上，∴点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影(-1,2，0)。点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5，∴在坐标平面xOy内的圆的半径为3。∴点P的轨迹是圆=9，z=0。总结 对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决。变式题演练点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程。答案：点P的轨迹方程是=16，y=0。知识结构知识点图表空间两点间的距离球面方程学法指导1、空间两点、间的距离反映在立体几何中，实质上是以、作为长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长，其中此长方体的长为，宽为，高为。2、球面是到定点的距离等于定长的点的集合，实质上是将平面中的圆推广到空间的结果。对于空间直角坐标系中的问题，要善于用类比于平面直角坐标系中相关问题的求解方法解决。3、在求解空间直角坐标系中的对称问题时，要紧紧抓住对称的定义。要熟悉空间直角坐标系中，某点关于一些特殊的平面或直线或点的对称点的求法。一般地，点P(x,y,z)关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x,y,-z)、(-x,y,z)、(x,-y,z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x,-y,-z)、(-x,y,-z)、(-x,-y,z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,-y,-z)。4、空间两点、的连线的中点M，实质上就是点、的对称中心，故可利用对称为定义，不难求得M的坐标为。