高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 练习含答案

更上一层楼基础•巩固1.点M(x,-J^)、N(y,y[xy)Z间的距离为()A.|x+y|B.x+yC.|x-y|D.x-y思路解析:考查平面上两点间距离公式.MN=^(x-y)2+(-7xy-V^y)2=Jx2+2xy+y2=|x+y|.故选A.答案:A2•光线从点A(-3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为()A.5a/2B.2V5C.5V10D.10V5思路解析:直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A(・3,5)关于x轴的对称点答案:C3.已知A(3,坐标是(则丨A，BI即为所求，由两点间距离易求得IA，BI=5710.■1)、B(5,-2),点P在直线x+y=0上，若使丨PAI+IPBI取最小值，则P点)1313C.(十)思路解析:点A(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为Af(l,-3),连结A，B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线AE的方程为y+3==±(x・l),即y=-x~—5-144A.(l,1)D.(-2,2),与x+y=0联立，解得1313x=—,y=55答案:CD.(l,0)4.已知A(1,3)、B(5,・2),点P在x轴上，则使丨API-IBPI取最大值的点P的坐标是()A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)思路解析:点A(l,3)关于x轴的对称点为A，(l,・3),连结A，B交x轴于点P,即为所求.直线AE的方程是y+3=13亍令y=0,得"答案:B 4.已知A(a,3)、B(3,3a+3)两点间的距离是5,则a的值为.思路解析:由两点间距离公式得丨ABI=7(a-3)2+(3-3a-3)2=5,解之，可得a=l或.Q答案:・1或955.以A(-l,1)、B(2,・1)、C(l,4)为顶点的三角形是三角形.思路解析:本题主要是考查平而上两点间距离公式和三角形形状的判断•目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式.由两点间的距离公式可得|abi=7(2+i)2+(-i-i)2=Vb.同理可得|AC|=V13，|BC|=V26•所以|AB|=|AC|.又AB2+AC2=BC2=26,所以Z\ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角6.已知AABC的顶点坐标为A(3,2),B(l,0),C(2+J^,1-JJ),贝9AB边上的中线CM的长为.思路解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2,1).由两点间的距离公式，有|CM|=7(2+V3-2)2+(l-V3-l)2=^6.・・・AB边上的屮线CM的长为后.答案:亦7.若2a-b=3,求证：三点A(-2,3)、B(3,a)、C(8,b)在一条直线上.思路解析:证明三点共线的方法有多种，一是利用两点I'可距离公式求得|AB|、|BC|和|AC|的值,由|AB|+|BC|=|AC|,所以A、B、C三点共线.二是可利用斜率公式求得同一点出发的两条直线AB、AC的斜率，由二者斜率相等可得三点共线.解:由平面上两点间距离公式可得|AB|=7(3+2)2+(a-3)2=j5?+(a・3)2,|BC|=7(8-3)2+(b-a)2=752+(a-3)2,|AC|=7(8+2)2+(b-3)2=Jl()2+(2a・6)2=2^52+(a.所以|AB|+|BC|=|AC|.所以A、B、C三点共线.综合•应用8.如图3-3-3,AABD和ABCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试证明AE=CD.ABC图3-3-3 思路解析:本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系，得11!相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等.解:以B为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，设等边AABD和ABCE的边长分别为2a和2b,于是可得相关各点坐标：B(0,0),A(-2a,0),C(2b,0),D(・a,辰),E(b,®),由两点间的距离公式，则|AE|=7(2a+b)2+(0-V3b)2=74a2+4ab+4b2,|CD|=7(2b+a)2+(0-V3a)2=^4a2+4ab+b2,所以|AE|=|CD|.4.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.思路解析:根据题意，可将问题用数学表达式写出：己知在等腰梯形ABCD中，CD〃AB.求证：对角线AC=BD.所以考虑建立适当的直角坐标系，得111相关点的坐标，利用两点间距离公式证明.解:设等腰梯形ABCD中，AB〃CD,并设其上、下底边长和高分别为2a、2b和c,建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系，在等腰梯形ABCD44,CD〃AB.可设A(-a,0),B(a,0),D(-b,c),C(b,c),则由两点I'可距离公式得丨ACI=7(b+a)2+c2,IBDI=J(・b・a)2+c?=J(a+b)2+(?,A|AC|=IBDI,即等腰梯形两对角线长相等.