空间两点间的距离公式【情景导入】（多媒体投影）三楼屋顶有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米，蜂巢能被击落吗？【引导】师：这是一个很有趣的实际应用题，同学们你能根据题意画出符合条件的示意图吗？生：阅读题目，并作出相应的空间图形。师：好！显然据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图形中消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小，这个问题可以通过立体几何的知识可以解决，但我们想换一种思维即采用代数的方法，借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的距离，我们就可以解决上面的这个实际应用题。这就是我们这一节将要学习的：（书写课题）空间直角坐标系。【新知探究】【引导】师：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，通过上一节的学习，我们知道建立空间直角坐标系后，空间中的任一点P与一组有序实数对（x,y,z）建立了一一对应的关系，类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空间两点、间的距离公式吗？生：空间两点、间的距离公式为：（由于有前面学习的基础学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式。）师：很好！猜想是我们探索未知世界的一种重要的思维方法，但终归是猜想只有和严格的数学逻辑思维的证明，这样才算是一个完整的思维过程。下面我们考虑如何根据两点的坐标来证明两点间的距离公式为：【引导】师：为了使同学们更好的理解空间两点间的距离公式的推导过程，我们按照由特殊到一般的思维过程先研究比较简单的情形。然后再利用类比的方法推广到一般情况。【师生互动】师：如果两点P1、、、P2是三个坐标平面中的其中一个平面上的任意两点，如何计算这两点之间的距离？它们适合公式吗？生：作图并分别写出两点P1、、、P2在三个坐标平面中的坐标，并思考如何求出两点间的距离。师：巡视指导，并点拔：“若两点P1、、、P2都在平面XOY中，两点的坐标的形式是什么？”“实质上这两点的距离是否就是平面上两点两点间的距离，利用两点间的距离公式验证它是否符合
？”师：显然平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特殊情况，如果P（x,y,z）那么它到坐标原点O的距离如何求解呢？如图：设点P在XOY平面上的射影是B，则B点的坐标根据空间中点的坐标的定义是什么？如何在空间立体图形中求出OP的长？生：观察图形通过立体几何知识分析图中的线面关系？师：引导学生回顾求解空间中两点间的距离的思想，即将空间问题最终转化为平面问题，常常在一些平面图形中求解，如在三角形、梯形中。生：回答教师提出的问题，教师及时纠正学生的错误，并由学生口述解题过程，教师板书：据题意知点P在平面XOY上的射影B点的坐标是（x,y,o），在平面XOY中，由于PB平面XOY，故PBOB，因此在直角三角形OBP中，根据勾股定理：因为，所以，这说明，在空间直角坐标系）O—XYZ中，任意一点P（x,y,z）与原点的距离【师生互动】师：如果的长是定值R，则方程表示何图形？生：思考并与同桌交流。师：巡视指导，并适时点拔：“在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆”据此类比“方程左端的形式与我们学习的那个知识相似？它表示的几何意义是什么？”“在空间中满足条件的点构成什么图形？”生：回答，此过程中可能会引起学生的争论，教师要注意正确的引导。【点拨】师：在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆，据此，学生不难将此推广到空间，得出表示以原点为球心，半径为的球面类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式也可以推广到空间直角坐标系中。即如果，则两点的中点P的坐标为。师：有了上基础，我们不难将OP的长度推广到空间任意两点间的距离公式，证明过程如下：（多媒体投影）【点拔】
空间两点、间的距离反映在立体几何中，实质上是以、作为长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长，其中此长方体的长为，宽为，高为。师：下面我们通过具体例题来说明两点间距离公式的应用。（多媒体投影）已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值。【引导】师：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得。生解答并回答解题过程|AB|=6，∴即，解得x=1或x=9∴x=1或x=9【点拨】求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 由于，所以△ABC是一等腰三角形（多媒体投影）3．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？【引导】师：因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线。生：思考并解答（多媒体投影）设点P的坐标为(x,y,z)。点P在坐标平面xOy内，∴z=0|PA|=5，∴即=25，∴点P在以点A为球心，半径为5的球面上，∴点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影(-1,2，0)。点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5，∴在坐标平面xOy内的圆的半径为3。
∴点P的轨迹是圆=9，z=0。【点拔】师：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决。（迁移应用一）（多媒体投影）1．已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7。【引导】师：注意Y轴上点的坐标的特点。生：B(0,2，0)或B(0,8，0)。（多媒体投影）2．点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程。答案：点P的轨迹方程是=16，y=0。新知探究（二）【引导】学习了空间直角坐标系后，我们就可在空间直角坐标系中研究空间几何图形的有关问题。用坐标法解决有关立体几何问题时，与其它方法相比，可以避免烦琐的说理、证明，因此坐标法在求解有关立体几何问题中有着较广泛的应用，特别是在学习了向量的有关知识后，如将坐标法与向量方法相结合，那在研究立体几何问题时将显得更优越。下面我们通过具体例题来说明它的应用。（多媒体投影）例2．在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离。【引导】师：通过前面的学习，我们可以通过坐标法即用代数的方法解决几何问题，同学们回想一下坐标法解题的步骤是什么？你能否将在平面上解决问题的方法迁移到空间当中去？生：坐标法解题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题，第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。师：同学们解答此题，然后教师用多媒体投影：x解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，又ABC为正三角形，∴H为
ABC的重心。由重心的坐标公式有：可得H点的坐标为，∴|PH|=。∴点P到平面ABC的距离为。【点拔】（多媒体投影）师：坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案。迁移应用（二）（多媒体投影）如图在正方体OABC－D1A1B1C1的棱长为a，，求MN的长。学生解答，然后教师投影：．【知能总结】（学生总结教师点评）本节课学习的主要内容有:（多媒体投影）（1）空间中两点间的距离公式及其推导。（2）球面方程（3）空间中两点间距离公式的简单应用：应用坐标法解立体几何中的有关问题。教学思想与方法：（1）培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯。（2）体会由特殊到一般解决问题的思维方法。作业：P147B组第1题和第3题。附一：板书设计：课题：空间中两点间的距离公式一．空间中两点间的距离公式的推导。1．空间中点P到坐标原点的距离。二．空间中两点间的距离公式在立体几何中的应用。例题三．小结1．2．3．作业
2．任意两点的距离公式。3．巩固练习附二。教学札记：本节课在课堂教学设计中，力求从如下几个方面使课堂教学达到最优化：1．学生参与课堂教学的整个过程，所有知识的生成和问题的解决都是在教师的适当引导下，由学生探究完成的。让学生成为课堂教学的主人，教师只起导演的作用，摒弃以教师为中心的课堂教学观，通过具体的教学过程来看整堂课学生是不仅全员参与学，而且学生还参与教，把教与学的角色集于一身。没有学生积极参与的课堂教学，是谈不上开发学生潜能的。而且通过设置难度适宜的问题和教师的巧妙点拔使学生敢于提出问题、发表见解，并使学生看问题与见解是否有挑战性与独创性。学生的主动创造是课堂教学中最令人激动的一道风景，而创造这样的景观绝非教师一日之功。如在在推导空间两点间的距离公式时，我并不是直接给出公式而是让学生根据所学的平面上两点间的距离公式进行大胆的类比猜想，调动了学生的学习热情，使学生经历一个从易到难，从特殊到一般的过程。其目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯。（2）通过将所学知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落这样一个有趣的问题的导入，增强了讲授的吸引力，因为只有设好疑，才能促进学生去解疑;惟有激情趣，才能吸引学生去听、去想、去思考，这样极大的调动了学生学习的热情和课堂气氛，使课堂上的人际交往产生了良好的合作氛围。激发了学生探究新知的欲望和合作探究的精神，通过现代技术的使用提高了教学效率和教学效果。
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