24点到直线的距离教材分析点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到直线的距离公式的推导．教学目标1.通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力．2.理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力．任务分析这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．
教学设计一、问题情境1.某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？2.在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由解得即m与l的交点由两点间的距离公式，得故要完成任务，至少需要9km长的电线．（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（，0）．在直线l上任取一点M（0，－），易让向量＝（，）与向量n＝（3，－4）垂直．设向量与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知
（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0， ①又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），即3（xo－15）－4（yo－20）＝45． ②把等式①和等式②两边相加，得25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，3.教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．二、建立模型设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．
我们来寻求点到直线l距离的算法．作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为B（x－x1）－A（y－y1）＝0．由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．①由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，即C＝－Ax0－By0．所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②把等式①和②两边平方后相加，整理可得（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：（1）给出点的坐标x1和y1赋值．（2）给A，B，C赋值．（3）计算注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．
三、解释应用［例 题］1.求点P（－1，2）到下列直线的距离：l1：2x＋y＝5， l2：3x＝2．注意：规范解题格式．2.求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离．分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d＝3.建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：即bx－ay＋ab＝0；直线BC：，即bx＋ay－ab＝0，∴点B（a，0）．
在线段AB上任取一点D（m，0），则－a≤m≤a．∴d1＋d2＝，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．［练 习］1.求下列点到直线的距离．（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．（2）A（1，0），l2：x＋y－＝0．（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．2.求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．3.（1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．
四、拓展延伸1.点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？2.点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．（1）如图，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离．不妨设A≠0，B≠0，这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0），作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得易证A＝0或B＝0，公式也成立．（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，∴向量n＝（A，B），与向量＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂直．②求点P0到直线l的距离d．由数量积的定义，如果向量与向量n的夹角为θ，那么易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．点 评这节课首先通过实例阐述了点到直线距离的产生背景，并通过学生思考讨论，归纳和概括出了求点到直线的距离的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推导点到直线距离公式的方法．这种安排充分体现了新课程标准的教学理念，符合新课程标准精神．例题与练习的设计由浅入深，完整，全面．解释应用深有新意，有深度．拓展延伸活跃了学生思维，培养了学生发现问题、研究问题、解决问题的能力．总之，这篇案例较好地体现了高中数学教育发展的一丝新理念．
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