高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 教案

高中数学必修2第三章直线与方程3.3.3点到直线的距离（一）广东省祁润祥适应教材：高中新课标，人教A版必修2教学目的：点到直线的距离公式推导教学重点：点到直线的距离公式的探究。教学难点：优选探究方法引题：我们已经掌握了直线的方程和平面上两点间的距离公式，那么怎样求点到直线的距离？提问：（1）如果,那么|AB|两点间距离公式是什么？（2）是怎样推导出两点间距离公式的？二．点到直线的距离公式推导习题：1．已知点P(3,4),求点P到直线x-2=0的距离_________.规律1：点到直线Ax+C=0的距离为________.2．已知点P（-4，-3），则点P到直线y=-2的距离为________.规律2：点到直线By+C=0的距离为________.从上述解答，我们可以求出，当直线平行两坐标轴时，这种特殊直线方程时，我们可以求出点到直线的距离，那么如果直线不平行两轴时，如何求直线点到直线的距离呢？即：已知点的两个坐标，和直线的方程为Ax+By+C=0，如何求点到直线Ax+By+C=0的距离？例如：求点P(3,1)到直线x+y-2=0的距离.解：过点P作直线的垂线方程为y-1=(x-3),即x+y-4=0联立两个方程解得，两直线的交为Q(2,0),那么故：点P（3,1）到直线x+y-2=0的距离为。上述问题是：已知点的两个坐标，和直线的方程为Ax+By+C=0，如何求点到直线Ax+By+C=0的距离？分析：这个问题的已知条件是，已知和A、B、C，求距离d由于该直线是交于两坐标轴，那么A≠0且B≠0。C∈R请同学们思考：怎样求点到直线的距离？都有哪些方法可以求点到直线的距离？ 提问：我们学过的求距离的方法都有哪些？回顾我们学过的求距离的方法：（1）直角坐标系中两点间距离（2）向量法（i)利用求向量的模求长度，（ii）利用向量在向量上的投影（3）解三角形法（4）三角形的相似形与全等形提问：怎样求点到直线Ax+By+C=0的距离？你想到哪些方法？方法一：过P作直线的垂线，求出垂足交点，再用两点间距离求点到直线距离。直线的方程为，斜率为图（1）直线的方程为即:与直线的方程联立，得即:Q，所以简化上述方法如下设，则直线的斜率为，方程为即①与直线的方程联立，得 ②即点Q的方程满足方程①与②把①与②看成是关于的方程组，解得于是=方法二：构造三角形求距离:可能构造如下三角形图（3）图（1）图（2）图（4）图（5）图（6）方法二：如图（6）在三角形PRS中，求底边RS上的高线长，设A≠0,B≠0,则直线l与x轴和y轴都相交，过P点分别作x和y轴的平行线，交直线于R和S，则直线P0R的方程为y=y0,R的坐标为 直线P0S的方程为x=x0,S的坐标为于是有设，由三角形面积公式可得于是有因此，点到直线的距离为提问：上述公式是在什么条件下推导出来的？是否满足A=0或B=0的情形？答：当A=0或B=0时，点到直线Ax+By+C=0的距离都可以用公式计算。图（5）总结：上述公式给我们得到启发，只要构造一个可解的三角形，使得点P到直线的距离为这个三角形的高即可用等积法求解距离。方法三：因为直线l的斜率为，设直线的倾斜角为那么不妨设如图（5），过P点做x轴的平行线交直线l于R,那么∠PRQ=, 在Rt△PQR中，|PQ|=因此，点到直线的距离为上述公式是在条件下推导的，那么当成立吗？请同学们自己证明；续方法三：因为直线l的斜率为，设直线的倾斜角为那么当如图（5），过P点做x轴的平行线交直线l于R,那么∠PRQ=,在Rt△PQR中，|PQ|=因此，点到直线的距离为图（2）方法四：利用向量法求长回顾：利用向量在向量上的投影定义：如图（2），直线与y轴的交点为，,直线的方向向量为（-B,A）,法向量为n=(A,B)那么|PQ|长就是向量在向量n上投影的绝对值，则|PQ|=(为向量与法向量n的夹角) 即PQ|=例题：求点到直线：3x=2的距离解析：点P到直线的距离课堂练习：1.坐标原点到下列直线3x+2y-26=0的距离为_________.2.坐标原点到下列直线x=y的距离为_________.3.点A(-2,2)到直线3x+4y+3=0的距离为_______.4.点B(1,0)到直线的距离为________.5.点C(1,2)到直线4x+3y=0的距离为______.课堂小结：本节课推导出了平面直角坐标系中，在已知点的坐标与直线方程时，推导出点到直线的距离公式，我们利用多种方法推导出了点到直线Ax+By+C=0的距离公式，推导公式的主要思想是把求长度问题转化为求三角形问题，构造出一个可解三角形，求解，其中用到的工具有：三角形法、向量法。作业：1．课本第110页A组第8题2．课本第110页A组第9题3．课本第110页B组第2题