《点到直线的距离》（获全国一等奖）张学昭 一、教材分析 ⒈教材的地位和作用 “点到直线的距离”是高中课本《平面解析几何》第一章“直线”的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。 在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法。在这个基础上，教材在第一章的最后安排了这一节。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。 ⒉教材的内容安排和处理 教参安排“点到直线的距离”这部分内容的授课时间为2个课时。
第一课时：侧重于公式的推导及记忆。 第二课时：侧重于公式的应用。本节为第一课时。 ⒊教材的重点和难点 本课时的教学重点是公式的推导及其结论以及简单的应用，教学难点是公式的推导。 教材中提供了两种推导公式的思路，思路Ⅰ用解析法，思路Ⅱ用解析法结合平面几何、三角的知识。高二的学生刚刚学解析几何，对解析法不够熟练，而且接触用解析法结合平面几何、三角的知识解决问题的例子不多，综合运用知识的能力不高，所以公式的推导是难点。 公式的推导使用的解析法或解析法结合其它的数学方法，在第二章圆锥曲线中经常用到；公式的推导过程渗透了多种数学思想（数形结合、等价转化等），所以，公式的推导也是重点。 二、教学目的分析 根据以上分析和我校学生的具体情况，确定本节课的教学目的如下： 知识目标： 第一课时：掌握点到直线距离的公式的推导及其初步运用； 第二课时：巩固点到直线距离的公式，由它推导两平行线的距离公式，使学生牢固地掌握它们，能较熟练地运用它们解决问题。
能力目标：使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用代数方法（坐标、方程）讨论图形性质的能力，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力。 德育目标：通过对公式推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生辩证统一的思想。 三、教学方法和教学手段的选用 根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的主要是启导法、计算机辅助教学、讲练结合法、题组教学法等等。 启导法属于启发式教学，它符合辩证唯物主义内因和外因相互作用的观点，符合教学论中的自觉性、积极性、巩固性、可接受性，教学与发展相结合，教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则。启导法的关键是通过教学中的引导、启发、充分调动学生学习的主动性。 在教学中，我采用启导法，引导学生探索公式推导的思路并完成公式推导，培养学生思维的灵活性、严密性、批判性等，渗透数学思想。利用计算机辅助教学，引导学生回忆平面几何的知识，使之顺利找到直角三角形的锐角与直线倾斜角的关系，突破难点。通过讲练结合法，使学生完成公式的推导，熟练公式。通过题组教学法，因材施教，发展学生等价转换、数形结合等思想，培养学生综合运用知识解决问题的意识。 四、关于学法的指导 “授人以鱼，不如授人以渔。”
我体会到，必须在传授知识给学生的同时，教给他们好的学习方法，就是让他们“会学习”。 首先让学生明确“为什么在两直线的位置关系这一节讨论点到直线的距离公式”，激发学生的学习兴趣。在公式的推导中，比较两种推导思路的不同，让他们体会到“思路Ⅰ难，难在什么地方？”“思路Ⅱ妙，妙在哪里？”，使他们熟悉解析法，同时领会到用解析法结合其它数学方法的妙处。这样，学生不仅学到了知识，而且通过公式推导思路的优化，深化了对数形结合思想的理解，提高了学生转化问题的能力。 五、教学过程（第一课时） （一）点到直线距离公式的推导 问题的引入 首先明确点到直线的距离的概念，再给出问题一，“求点P（-1，2）到直线：2x+y-10=0的距离。”提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点P的的垂线的方程；再联立、求垂足Q，最后用两点间距离公式求│PQ│。设计问题一的目的是使学生巩固已学过的知识和方法，同时也为问题二的解决作铺垫。 紧接着由老师提出问题二： “求点P（x，y）到直线：Ax+By+C=0的距离。” 问题的解决 先考虑A≠0，B≠0的情形。 【思路Ⅰ的教学】
学生类比问题一，容易有思路：先求垂线的方程，再联立方程求交点的坐标，最后用两点间距离公式算│PQ│。（我们称这种思路为思路Ⅰ）但计算又会有具体困难。师生共同完成计算，由于全部是字母运算，估计需要8分钟。这里让学生实践自己的想法，可以达到两个目的，一个是熟悉解析法，另一个是使学生体验到在这里只使用了解析法，运算的确很繁。如何化繁为简呢？ 【思路Ⅱ的教学】 老师引导学生变换角度去考虑，观察图形。这时可以通过设问促使学生给出新的思路。 ①构造直角三角形的教学 老师设问“要求的是垂线段的长，在平面几何中是如何求线段长的呢？”学生会回答“构造直角三角形”。 老师进一步设问“怎样构造直角三角形呢？”老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂线段为一直角边的直角三角形。 通过老师的引导，加上学生多次构造直角三角形，解决相关问题的经验（如求两点间的距离公式，求直线的倾斜角等），学生的思维方向明确，构造出的直角三角形可能主要有以下两种： （Ⅰ）过点P作PM∥OY交于M，则有Rt△PMQ；lQyxPMO （Ⅱ）过点P作PN∥OX交于N，则有Rt△PQN；
（Ⅰ）xlyPQNO（Ⅱ） 过一点作坐标轴的平行线构造图形的方法的优点是：比较容易确定交点坐标；容易求出线段长，这种方法在学生今后进一步的学习中会经常用到的。 （注：对可能出现的在上任取一点M，连结PM而得到直角三角形，老师引导学生指出其缺点：未能充分利用的倾斜角。） 不管学生采用哪一种方法构造直角三角形，推导公式的方法的实质都一样，所以只对Ⅰ重点分析。 ②解直角三角形的教学 老师设问“要解直角三角形，边角元素至少要知道几个？”学生知道必须有两个边角元素（至少要有一边）。 紧接着老师引导学生确定解直角三角形所需的边角元素。 边：估计学生能求出斜边│PM│的长，可得y1=，故│PM│=
==xPMlyQABO（若不能，引导学生观察直角三角形的边，注意到PM∥y轴，P点的坐标、的方程是已知的，M是PM与的交点，就可以求出│PM│。若学生提出可再求│MQ│的长，老师可引导学生：必须知道垂足Q的坐标，又回到了思路Ⅰ，所以只能从角去找。） 角：师生共同分析：数确定，形就确定，即直线方程给定，则直线就确定，直线的倾斜角也确定。故可考虑θ（即∠MPQ）与已知直线的倾斜角α的关系：θ与α相等或互补。学生在说明θ与α的关系时，习惯用相似三角形，但由于点P与直线l的位置关系不确定，又心存疑虑。通过电脑演示动画，说明无论点P与直线l的位置关系如何，Rt△MPQ与Rt△MAB始终相似。通过电脑演示，还可以说明：当α＜90°时，θ=α；当α＞90°时，θ=180°—α。
事实上，在平面几何中，有这样的结论：平面几何中，如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。当两个角都是锐角或都是钝角时，这两个角相等；当两个角中一个是锐角一个是钝角时，这两个角互补。利用这个结论可以直接得到：∠QPM与已知直线的倾斜角α相等或互补。在Rt△PMQ中，已知、θ，要求，只需求cosθ。 而已知的方程，就知道tgα（当B≠0时，tgα=－），也就知道tgθ，也就知道secθ，就可以求出cosθ；∵θ＜90°，∴cosθ===； 在Rt△PMQ中，已知│PM│，cos∠QPM即cosθ，则 │PQ│=│PM│cosθ =×= 【补充说明】 通过实例，讨论当A=0或B=0的特殊情形，指出当A=0或B=0时，公式仍然成立。在实际解题时，可画图直接求解也可套用公式。通过对特殊情形的讨论，培养学生思维的严密性，渗透分类讨论的数学思想。 【思想方法的教学】 回顾公式的推导过程，师生共同分析思路Ⅰ、思路Ⅱ的不同： 思路Ⅰ
：用解析法；求垂线方程、联立方程求交点Q、用两点的距离公式求│PQ│；它是用方程的方法来解决几何问题，也就是解析几何首先倡导的“以数论形”的思想方法的具体应用。它思路简单，但运算较繁。 思路Ⅱ：用解析法结合平面几何、三角的知识；构造以垂线段为一直角边的直角三角形，通过解直角三角形，求│PQ│。这说明在用解析法时应注意数形结合、综合应用平面几何、三角等知识，化繁为简。 通过两种思路的比较，使公式的推导得以升华，培养学生思维的深刻性。 点到直线的距离公式的推导有多种思路和方法，老师布置学生课后思考其他的推导方法，为下一节课作准备。 【公式的教学】 为了使学生牢固的掌握公式，老师引导学生阅读课本，并让学生思考回答例1：求点P（－1，2）到直线2x+y-10=0的距离；例2：点（4，m）到直线4x－3y－1=0的距离为3，求m。并利用组合投影片将例1中的直线变换成2x+y=10；y=－2x+10；2x＋y=0； y=－；y=－2；x=2作变式训练。然后师生共同总结出公式的结构特征、公式的适用范围、使用公式时应注意的问题等等，即如下几点： 1．公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是。
2．公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，但计算时常用图形直接求解。 3．使用公式时应注意的问题：使用点到直线距离的公式时，应先将直线方程化为一般式。 4．用方程的观点理解公式：该公式是含有6个量的方程，知道其中5个量可以求第6个量。 （二）点到直线距离公式的简单应用 对公式应用采用题组分层次教学，先后通过A,B,C三组（6个题）组织学生进行练习评讲，进一步巩固点到直线的距离公式。 A组题（基础题）主要目的是照顾学习有困难的学生，侧重于基础，进行基本技能训练。第1，2题使学生能熟练地直接利用公式求出点到直线的距离；完成A组题，大约需要2～3分钟。 B组题（中等题）第1题，使学生能逆用公式，用待定系数法列方程求参数；第2题重点突出数形结合、转化问题的数学思想，培养学生综合运用知识的能力。完成B组题，大约需要4～5分钟。 A、B两组题是必做题。 C组题（提高题）是提高题，难度大，作选做题，为学有余力的同学提供了更广阔的思维空间，也为下一课时埋下伏笔。 这样遵循循序渐进的规律进行题组教学，顾及到了各层次的学生，达到了预期的教学目的。
六、教学评价的分析 学生在学习点到直线的距离公式时，经常会出现以下两个问题： ⒈使用公式时，未将直线方程写成一般式，随意改写方程； 2．遇到A=0或B=0的情形，不会套公式或用数形结合没有加绝对值算出的结果是负的； 课堂上，老师可以通过巡堂，或提问等方式来发现学生的错误，而采取直接讲解，或采取实物投影学生的错误解答，组织学生集体讨论，并提问学生的方式来纠正学生的错误。老师课堂上除反复强调以上知识点外，还应通过课堂练习和课后作业强化它们。只要注意了以上几个问题，学生运用起公式来就会得心应手。 通过本节课的学习，学生不仅掌握了点到直线的距离公式，而且通过公式的推导，更加熟悉解析法，深刻地领会到平面解析几何的基本思想“以数论形，数形结合”，提高了运用数形结合、等价转化等数学思想方法解决问题的能力，也提高综合运用知识解决问题的能力；通过对公式推导思路的探索、评价，学生的思维品质得以优化，学会辩证地看待问题，感受到了数学的美，增添了创新的意识和胆量。
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