高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 课件

3.3.3 点到直线的距离 QPyxol思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离呢?如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. 当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.QQxyox=x1P(x0,y0)yoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0) (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______.(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______.练习1 下面设A≠0,B≠0,我们进一步探求点到直线的距离公式:[思路一]利用两点间距离公式:PyxolQ QxyP(x0,y0)OL:Ax+By+C=0[思路二]构造直角三角形求其高.RS 练习23、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.2.求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：点到直线的距离： yxol2l1两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.两条平行直线间的距离：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是QP 点到直线的距离与两条平行直线间的距离1.点到直线的距离(1)定义:点到直线的_______的长度.(2)图示①:(3)公式:d=_______________.垂线段 2.两条平行直线间的距离(1)定义:夹在两条平行直线间的_________的长.(2)图示②:(3)求法：转化为点到直线的距离.公垂线段 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)点到直线的距离公式适用于直线方程的任何形式.(  )(2)当点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上时,点到直线的距离公式不适用.(  )(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看做是两条直线上各取一点的最短距离.(  ) 提示：(1)错误.点到直线的距离公式只适用于直线方程的一般式.(2)错误.当点在直线上时，此时仍然适用，故这种说法是错误的.(3)正确.两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离.答案：(1)×(2)×(3)√ 【知识点拨】1.对点到直线的距离的三点说明(1)点到直线的距离的本质:其本质是点与直线上任意一点连线长度的最小值,可用最小值的方法求出.(2)从几何特征上分析:点到直线的距离是点与过该点且垂直于已知直线的直线与已知直线的交点间的距离. (3)点到直线的距离的几种特殊情况①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|;④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|. 2.对两条平行直线间的距离的理解(1)这个距离与所选点的位置无关,但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).(2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距离的最小值. (3)两条平行线间的距离公式除了将两平行线间的距离转化为点到直线的距离求解外,还可以利用两条平行线间的距离公式求两点间的距离.但在使用上述公式时,必须有两个前提条件:一是两条直线的方程都是一般式;二是x,y的系数分别对应相等的情况,否则必须先化为对应相等才能套用公式. 类型一点到直线的距离【典型例题】1.点(0,5)到直线y=2x的距离是()2.求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程. 【解题探究】1.在使用点到直线的距离公式时,对直线方程有什么要求？2.已知直线的斜率和已知点的坐标,如何写出直线的点斜式方程？探究提示：1.必须把直线方程化成一般式.2.直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0). 【解析】1.选B.y=2x化为一般式为2x-y=0,点(0,5)到直线y=2x的距离2.因为所求直线方程过点A(-1,2),且斜率存在，所以设直线方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,又原点到直线的距离等于所以解得k=-7或k=-1.故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0. 【拓展提升】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解. 【变式训练】若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是()A.(0,10)B.［3,4］C.［］D.(-∞,0)∪［10,+∞)【解析】选C.由题意解得 类型二两平行线间的距离【典型例题】1.两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于()A.3B.7C.D.2.已知直线l与两直线l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0平行且距离相等,则l的方程为______.【解题探究】1.求两平行线间的距离的依据是什么？2.与已知直线Ax+By+C=0平行的直线应如何表示？ 探究提示：1.依据是点到直线的距离.可在其中一条直线上任取一点,利用点到直线的距离公式,转化为点到直线的距离.2.可设为Ax+By+m=0. 【解析】1.选C.在3x+4y-2=0上取一点(0,),其到6x+8y-5=0的距离即为两平行线间的距离,2.设所求的直线方程为2x-y+c=0,分别在l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0上取点A(0,3)和B(0,-1),则此两点到2x-y+c=0距离相等,即解得c=1,直线l的方程为2x-y+1=0.答案：2x-y+1=0 【互动探究】若将题1中的直线“6x+8y-5=0”改为“3x+4y-=0”,其余条件不变,又可如何求这两条直线的距离？【解析】 【拓展提升】求两条平行线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.(2)公式法：设直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则两条平行线间的距离 【变式训练】设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()【解析】选C.a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,则a+b=-1,ab=c,x+y+a=0上一点(0,-a)到x+y+b=0的距离d==又0≤c≤,故d∈［］. 类型三距离公式的综合应用【典型例题】1.设x+2y=1,则x2+y2的最小值是.2.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的变化范围.(2)当d取最大值时,求两条直线的方程. 【解题探究】1.已知点P(x,y),则x2+y2表达怎样的几何意义?2.两条互相平行的直线分别过点A,B,各自绕着A,B旋转并保持平行,旋转到何种位置时两平行线间的距离最大? 探究提示：1.x2+y2等同于即,表示原点O(0,0)与点P(x,y)的距离的平方.2.当两直线垂直于AB时,此时两平行线间的距离最大. 【解析】1.，它的几何意义是点(x，y)到原点的距离.因而其最小值即为原点到直线x+2y=1的距离，即所以x2+y2的最小值是答案: 2.(1)方法一：当两条直线斜率不存在时,它们间的距离为9.当它们斜率存在时,设两条直线为y-2=k(x-6)和y+1=k(x+3),则它们间的距离为即(81-d2)k2-54k+9-d2=0,因为k∈R,所以Δ≥0,化简得d4-90d2≤0,解得d∈(0,9）U（9，］.综上可知d∈(0,］ 方法二：如图所示,显然有0