高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

§3.3.3点到直线的距离一、教材分析“点到直线的距离”选自高中数学课本必修2第三章“直线与方程”，其主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用。“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以“点到直线的距离”是平面解析几何的一个重要知识点．二、学情分析本节课的授课对象是普通高中高一年级学生，在此之前，学生们已经系统地学习了直线方程的三种表达形式，求两直线的交点以及两点间的距离公式，因此具备了学习本节课所需要的知识。但是他们的抽象概括能力还比较薄弱，在遇到点到直线的距离公式推导这一过程中可能会有一定的困难，需要教师给予细心指导。三、教学目标根据新课程标准的要求，结合高一学生的认知水平，我认为本节课的①知识与技能目标：理解点到直线的距离公式的推导思路；掌握点到直线的距离公式及其应用；会用点到直线的距离公式求两平行线之间的距离②过程与方法目标：在推导公式的过程中体会数形结合的思想，充分感受转化（化归）以及从特殊到一般的重要数学思想方法③情感态度价值观目标：通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感，激发学生的学习兴趣。四、教学重难点在目标的指导下，我将本节课的重点确定为⑴点到直线的距离公式的推导和应用。难点确定为发现点到直线的距离公式的推导方法。五、教学方法为了达到良好的教学效果，我采用启发探究式教学方法，在公式推导过程中，通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体六、教学过程㈠创设情境，提出问题以学生熟知的人离高压电线的安全距离给出生活中的例子，创设情景，让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，导出课题，从而有效调动学生的学习兴趣！那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，我们进入下一个教学环节㈡自主探索，推导公式（即为点到直线的距离的公式推导过程）首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离。接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫． 问题1 如何求点到直线的距离？（补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生积极思考） 方法①利用定义 由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点到直线的距离，转化为点、垂足两点之间距离来解决．解：过点作的垂线，设垂足为 方法②利用直角三角形的面积公式结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线．教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识． 解：过点作的垂线，交点为点在Rt 问题2  如何求点到直线的距离？组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．（为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．）在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．问题3  如何求点到直线（）的距离？方法① 利用定义的推导方法通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点到直线的距离转化为点与垂足，两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略，这一前提条件，而直接得到与垂直直线的斜率为．我要加以纠正，并强调对于 的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑．  方法② 利用直角三角形的面积公式的的推导方法 学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题．对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生代表可以只说明算法步骤．在此过程中，应该提醒学生注意Rt三边边长的求法． 点到直线的距离公式点到直线（其中）的距离 在学生通过两种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：当时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3．㈢课堂练习评价反馈（即点到直线的距离公式的应用）在本环节，我安排了两个例题．其中例1是引用教材例5，例题中所给直线的方程不是一般式，所以要求学生掌握运用公式的前提：首先应将直线方程化为一般式，在确定了系数的值之后，再代入公式进行计算．这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．之后是教材例6，在这道例题中要求学生对距离公式有一个良好的理解并对其进行运用。㈣课堂总结由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．⑴点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路；⑵点到直线的距离公式；⑶点到直线的距离公式的应用前提条件．（通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．）（五）布置作业① 课后练习1、2② 探索求点到直线距离公式的其他方法 设计说明：作业1是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度．作业2是根据课堂分析，让学生总结公式推导的方法．除了课堂上想到的方法还可以继续思考,发挥学生学习的自主性和思维的广阔性．