《点到直线的距离》教学设计杭州四中邸士荣一．内容和内容解析“点到直线的距离”是新课标《数学必修2》第三章第3节“直线的交点与距离公式”中的重要知识点。教材按照“提出问题（如何求点到直线的距离）、解决问题（推导公式）、应用公式”的线索展开研究，既是直线方程应用的延续，又是坐标法这一核心知识的发展，同时还是充分展现用代数方法研究几何问题优越性的载体。作为直线方程的一个应用，公式的推导过程蕴涵了丰富的数学思想方法，转化思想，数形结合，分类讨论，属于具有较高思维价值和探究价值的教学内容。同时，该公式还将在学生今后的代数、立体几何及圆锥曲线学习过程中，作为解析几何的一个重要工具广泛用之于问题的求解过程当中，因此，该内容又具有很大的应用价值。不仅如此，该内容还是刚刚学过的两直线交点及两点间距离公式的用武之地。就内容本身来说，作为公式的学习与应用又是引领学生运用平面几何知识、强化直线方程的建立过程的好素材。因此，这是一节具有承上启下、继往开来作用的一个重要基础内容，是今后进一步学习研究解析几何的重要工具。二．重、难点及教学目标解析本节课是在学生已经积累了两点间的距离公式、直线的倾斜角、斜率、直线方程的各种形式，两直线间位置关系判断的依据等知识，并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法的前提下来探究点到直线的距离公式的。学生要经历从平面几何的定性作图过渡到高中解析几何的定量计算这样一个认识过程，其学习平台是学生已经掌握了直线的倾角、斜率、直线的位置关系、直线方程、两直线的交点等相关知识。因此，这节课既是问题教学，又是公式教学。要着力解决的问题是如何在已知点的坐标及直线方程的情况下求的点到直线的距离。为此:教学重点：公式的推导和应用。教学难点：公式的推导。教学关键：怎样发现并理出推导公式的思路。根据本节课在教材中所处的地位和作用，结合本节知识容量，将这节课的教学目标确定为：知识培养目标：在经历发现推导公式的基础上，理解推导方法，掌握公式特点，学会公式的运用，领会蕴涵在公式推导及范例解决过程中的数学思想与方法。情感教育目标：让学生在问题的探究与解决中体验数学的魅力，感受解决问题的愉悦，有效培养勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力资源，培养其良好的数学学习品质，激发学生学习数学的热情。能力培养目标：让学生在对教学过程的充分参与中，体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，从而有效培养学生分析、探究能力、灵活运用公式能力及用解析法分析解决问题的能力。通过问题的多解教学培养学生发散性思维品质。三．教学问题诊断分析本节课有两个难点需要加以突破：一是公式推导的思路的发现。毕竟学生对坐标法接触时间不长，知识的迁移与灵活运用水平还十分有限，教师必须着力精心创设良好的思维情景才能让学生在“愤”“悱”状态下发现问题解决的思路；二是找到求解思路后，推导公式需要进行较为烦琐的运算和化简过程，这一过程是学生的知识、能力、意志品质等得以发展的过程，同时又是耗时费力的过程。而运算化简能力又往往是学生的弱项。时间运用上的矛盾，思维品质上的欠缺，都需要教者在设计教学时认真考虑，合理取舍，作出精心安排。四．教学支持条件分析
新课程理念的新颖与超前，坐标法处理问题的简洁明快，现代多媒体教学手段的运用，数学核心概念与方法的突出可以让我们在短短的四十分钟内演绎出一幕精彩的教学活剧来。而以下诸多条件有利于本节教学目标的实施与完成。1．作为两直线的位置关系的最后一个内容，在这之前学生已经系统学习了直线方程的各种形式，有了对两直线位置关系的定性认识和对两直线相交的定量认识，特别是两点间距离公式及直线方程的学习已经为本节内容的学习做好了知识和方法上的准备。同时，学生对解析几何的的实质中，用坐标系沟通直线与方程的研究办法有了初步的认识，数形结合的思想正逐步趋于成熟。对杭四中的学生来说，基础知识应该比较扎实，思维比较活跃。2．又见到：“点到直线的距离”（初中已经学习并定义），学生会产生“似曾相识燕归来”之感：既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探学寻动机由此产生。学生通过前一段时间的学习尤其用斜率对两直线方程位置关系的判断已经初步感悟到坐标法研究几何问题的优越性，学生学习兴趣比较浓厚。3．数学源于生活，生活中的点线距随处可见，这将为学生学习探究本节内容提供感性支持。五．教学策略与手段1．根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，采取问题教学法模式。从学生熟知的简单问题出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂方式，引导学生探索点到直线的距离的求法。让学生在师生互动、合作交流、共同探讨的氛围中，理解公式推导的过程及知识应用，进一步提高学生把几何问题代数化的数学能力。2．采取现代化的教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提升教学效率和教学质量。3．以反馈调空为手段，力求反馈的全面性（优、中、差）与实效性（及时、中肯）。4．教师进行教学设计、准备课件，搜集资料。六．教学过程设计1．旧知铺垫，引入新课问题1。上节课我们学习了平面上两点之间的距离公式。这个公式的形式是怎样的？它是怎样推导的？如何用？用该公式求距离与以往的方法有哪些不同？①②公式是用构造直角三角形的方法结合勾股定理导出的。③知道坐标直接代入。设计意图：一为推导公式（转化为点点距）打伏笔，二为新知识提供一个“最近发现区”三为学生提供一个知识生长点，四是点出这部分内容涉及到的核心方法——坐标法。问题2。距离是几何中的一项重要内容。你认为，除两点间的距离外，解析几何中还应该有哪些距离？学生思考后回答：点到直线的距离，平行直线之间的距离。从而引出本节课题。设计意图：让学生自己发现问题，提出问题，让学生在对教学活动的参与中引出本节课要研究的新课题，教自然地导入新课。2．创设情景，知识发展。问题3。平面几何中，点到直线的距离是怎样定义？设计意图：通过回忆初中对点到直线距离的定性作图，新旧联系，以旧引新，为距离的定量描述做好铺垫。问题4。解析几何中，你认为要求得点到直线的距离，需要拥有哪些条件？设计意图：让学生感悟解析法的特点，进一步知晓用代数方法研究几何问题的手段与方法。问题5。如何在知道点P坐标和直线方程的情况下求得P到该直线的距离？
情形1。点到坐标轴的距离。情形2点到与坐标轴平行的直线之间的距离情形3。点（1，1）到直线的距离设计意图：从简单问题入手，让学生能沿着教师设置的高而可攀的梯子拾级而上，在由特殊到一般、由抽象到具体的思维活动过程中提出问题，并逐步解决问题。问题6。上面问题的问题都很特殊，你能由此提出一个更据一般性和挑战性的问题吗？设计意图：把提问的主动权也交给学生，让学生提出下面问题：已知点，求点P到直线之间的距离。教师引导：这是本节课我们要彻底解决的核心问题。我们不能总用最原始的方法解决问题。怎么办？推导公式。问题7。求直线的斜率，我们应该考虑哪些情况？相应的，所要求的距离应该怎样具体地求出来？1．让学生探究、发现思路。2．教师点拨，总结思路设计意图：发挥教师在教学中的主导作用，问题8。上面的推导方法清晰自然，大家都能想得到，但有点繁。有别的处理方法吗？设计意图：给学生探索的主动权，给学生在公式推导中自主创新的机会。用直角三角形中的等面积法来求。解：设，则与轴、轴都相交。如图，过点分别作两坐标轴的平行线交于R，S，则直线PR的方程为，R直线PS的方程为，S那么由得
问题9。该公式推导中用到数学方法了吗？如果有，涉及到哪些？让学生感悟到：公式推导过程中不仅用到了化归、数形结合、分类讨论等十分重要的数学思想，还蕴涵着探索与创造，这使我们能感觉到数学的生机与乐趣。设计意图：引导学生从数学思想方法的高度来认识所参与的数学活动，可以使思维层次提升到一个新的高度。问题10。公式有哪些结构特征？公式在或者时还成立吗？公式的分子：保留直线方程一般式的风格，充分表明公式与直线方程有关。公式的分母：有点距离公式的味道。象其他我们学过的一些公式一样，公式简洁明了，给我们一种端庄秀丽的美感。设计意图：让学生快速记住公式，同时让学生感受数学美。3．范例选讲，知识应用问题11。求点P（-1，2）到直线之间的距离。设计意图：让学生在刚刚学习新知后运用新知，同时进一步了解公式的适应范围。变式一。求点P（-1，2）到直线之间的距离。变式二。求点P（1，1）到直线之间的距离。设计意图：（1）熟练掌握公式的用法。（2）通过（3）让学生既能体会到公式适用的更广范围，又让学生发现一种判定点是否在直线上的新方法，同时也为判断三点共线问题拓展思路。问题12。已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求的面积师生活动：（1）怎样求三角形面积？需要具备那些条件？（2）你能否设计该问题的一个求解方案？（3）如何实施求解方案？有别的解法吗？解法1。求底、求高解决。解法2。割补法处理解法3。用余弦定理求内角，然后用解决解法4。向量法处理.问题13。求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。（备用范例）4．课堂小结知识建构（1）你这节课学到了什么？（2）本节课有哪些收获？给你最大的感受是什么？（3）解析几何研究问题的特点是什么？有哪些优越性？5．布置作业，强化与巩固（1）．用求垂足的方法推导点到直线的距离公式.（2）．请用本节课所学的内容推导两条平行线之间的距离公式.（3）．作业本.《点到直线的距离》
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