《点到直线的距离》的教学设计【摘要】“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，是平面解析几何的一个重要知识点。也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点，在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生的数学能力。 【关键词】教学设计点到直线的距离数学思想方法数学能力 “点到直线的距离公式”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点。 一.教学内容及学情分析 “点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离。所以“点到直线的距离公式”
是平面解析几何的一个重要知识点。由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力。 二.教学目标 按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生基础和素质教好的情况，我把本节课的教学目标确定为： （1）让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离。 （2）通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法。 （3）通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。 三.教学过程的设计 课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动。为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境
提出问题—典型例题——运用知识强化练习——理论升华整体建构——归纳小结强化思想书面作业”五个环节来完成。下面对每个环节进行具体说明。 （1）创设情境提出问题 多媒体显示问题：怎样用解析几何方法求解点到直线距离？由于字母的运算有难度，引导学生从直线的特殊情况入手，这样问题比较容易解决。学生应该能想到，如果直线是坐标轴或平行坐标轴的时候问题比较容易解决，给予学生肯定的评价。学生自己完成推导过程，选两名学生进行板演。 多媒体显示，观察图8－16，过点作直线的垂线，垂足为Q，称线段的长度为点到直线的距离，记作d．如何求出一个已知点到一条已知直线的距离呢？ 图8-16 多媒体显示，点到直线：的距离公式为:
这一环节要解决的主要问题是：充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式。在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透。 （2）典型例题 例1:求点到直线的距离． 分析:求点到直线的距离时，首先要检查直线方程是否为一般式方程，若不是，则应先将直线的方程化为一般式方程，然后利用公式进行计算． 解:直线方程化成一般式方程为 由公式得． 例2:试求两条平行直线与之间的距离． 分析:由平面几何的知识知道，两条平行线间的距离，是其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离．为运算方便，尽量选择坐标的数值比较简单的点． 解:点是直线上的点，点到直线的距离为,故这两条平行直线之间的距离为． 例3:设△ABC的顶点坐标为，求三角形的面积． 分析:如图8－17所示，首先求出任意一条边的边长及直线的方程，然后求出这条边上的高，再利用面积公式进行计算．
图8－17 解:由点、可得， 直线的斜率为，直线AB的方程为，即，又边上的高为点C到直线AB的距离．故三角形面积为． （3）运用知识强化练习 根据下列条件求点P0到直线的距离：（1），直线；（2），直线；（3），直线. 在学生求解过程中，我巡视，观看学生解题，了解情况，根据课堂时间的实际情况，选取做好的学生的解题过程用实物投影仪显示。这样不仅能让全体学生看到不同思路的具体解法，还能得出最佳解题方案，接着我展示最佳解题方案的规范步骤。目的让学生有良好的规范的书面表达习惯，起到教师典范的作用。 （4）理论升华整体建构 点到直线：的距离公式为
依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材。在公式的推导过程中，我做了和教材不同的处理方法：（1）先特殊后一般的证法，（2）多角度构造三角形，（3）知识联系，向量解决．目的是让学生在考虑问题时有特殊到一般的意识，符合学生认知规律，使问题的解决循序渐进。 （5）归纳小结强化思想书面作业 我通过本节课的学习，让学生对知识从深度和广度上进行挖掘．通过几何画板的演示，让学生直观看到思考问题的方法。除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和，或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差．由特殊点到任意点，由特殊直线到任意直线，从而延伸出两平行线间的距离。目的是在整个过程中，让学生注意体会解题方法中的灵活性以及转化等数学思想方法。 通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力。本节课小结主要由学生完成知识总结，通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结。 四.教学效果评价
新课程改革提出要加强过程性评价，因而在具体教学过程中，我对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励；学生思维暴露出问题时及时评价，矫正思维方向，调整教学思路；为了获得后反馈信息，布置作业，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，指导我今后教学。整个教学评价是在师生互动中完成的。 五.教师教学后记 学生知识、技能的掌握情况：学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题。 学生的情感态度：学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服。 学生思维情况：学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思。 学生合作交流的情况：学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见。 学生实践的情况：学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面。 以上内容是“点到直线的距离”这一节课的教学设计，与大家共勉。
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