高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 教学设计

《点到直线的距离》教学设计无锡市洛社高级中学李思齐教材分析点到直线的距离是直线方程的一个应用，也是坐标法的继续。从知识体系上看，是在研究平面上两点之间距离的基础上来进一步研究点线距离，是对距离度量的完善；从知识结构上看，点到直线的距离是前面讨论两点间距离的深入、后续研究直线和圆的位置关系的准备。继前面学习了两直线平行与垂直后，教材安排讲述了平面上两点间距离，学生已经基本掌握如何判断四边形形状（包括三角形），以及求四边形边长等方法；为求四边形面积，我们还需探讨点到直线的距离（因为要求四边形中顶点到对边的距离，也包括三角形）。为此，本课主要研究以下两点：①平面上点到直线的距离公式及其应用；②两条平行线间的距离。教学目标1.知识与技能①掌握点到直线的距离公式，能应用公式解决一些简单问题；②通过公式的推导向学生渗透数形结合和化归等数学思想；2.过程与方法①问题导入的方式；②分组合作、研究与交流；③通过对数学公式的推导过程，体会数学中常用的数形结合和化归思想；3.情感态度与价值观①渗透数形结合和化归等思想，进行对立统一观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神；②通过数学活动感受数学与显示世界的联系，进一步认识辨证唯物主义的普遍联系观点。教学重难点分析1.教学重点点到直线的距离公式及其应用2.教学难点点到直线距离公式的推导教法构想 在编写过程中，教材将本课设计为一节活动课，通过上一节课的情景，提出问题，进而给出两种解决问题的方法，最后留下思考。因此，教学中可以首先明确条件，提出问题，然后让学生充分讨论，研究如何解决这个问题；将学生分成小组，采用讨论、交流和学生汇报等形式进行研究性学习。教学准备教科书（新课程苏教版●必修2）、多媒体课件课型与课时安排课型：新授课课时：1课时教学过程设计教学过程教学内容教师活动学生活动设计意图创xyOA（－1，3）B（3，－2）C（6，－1）D设问题情境B（3，－2）A（－1，3）D（2，4）Oy（2，4）xyOD（2，4）A（－1，3）B（3，－2）E问题（引例）：如何计算下面四边形的面积？打开多媒体课件，展示问题，提问：在前面的学习中，我们已经能够从计算斜率的角度判定四边形ABCD的形状，你能判断这个四边形形状吗？请你试试。学生动手演算，学生很快能得出结果：平行四边形口算能力强的学生随即说出了结果复习旧知导入新课提问：既然是平行四边形，如何计算它的面积呢？学生回答：底乘高复习旧知导入新课教师提问：不妨以AB为底，你能计算AB的长吗？怎么计算？学生回答：两点距离公式AB=点D（2，4）到直线AB的距离DE提问：高呢？怎样求点D到AB的距离呢？尝试、操作、演算激发学生探究、学习的欲望打开多媒体课件下一页,你能用我们前面所学知识解决这个高DE的计算问题吗？将学生分组，使其合作、讨论、交流探究、讨论、演算、交流自主探究，发挥学生主观能动性，既加固所学知识的应用，也加强学生分析能力的提高 xyOD（2，4）A（－1，3）B（3，－2）xE问题解xyOD（2，4）A（－1，3）B（3，－2）E决xyOD（2，4）A（－1，3）B（3，－2）xE点D（2，4）到直线AB的距离DE聆听个别学生的汇报，并及时板书，适时引导，同时也注意向其他学生作解释，以防部分学生的思维跟不上，还得注意教师和学生之间的互动，调动学生的课堂参与性学生甲交流想法：①先计算DE的斜率kAB==－，由DE⊥AB，则kDE=②再分别求出直线DE和AB的方程两点式求AB：5x+4y－7=0点斜式求DE：4x－5y+12=0③联立方程求交点E的坐标：E（－，）④最后计算DE的长：DE=学生思维在所学知识的综合应用中自由遨游，相互交流研究成果，共享问题解决后的喜悦，使学生在有所收获的同时激起继续学习新区和欲望 问MDENxyO题解决点D（2，4）到直线AB的距离DE肯定赞许学生的做法并稍作小结，同时也指出：这样做计算量偏大。问：我们能否简化这种计算呢？感受、体会、思索、产生进一步研究学习的欲望及时总结解决方法，既加深学生对综合应用所学知识的感悟和领会，也能培养并提高学生的综合分析能力，帮助其形成一定的数学思想点D（2，4）到直线AB的距离DE提问：前面我们在推导平面上两点间距离时是采用什么方法得出结果来的？部分学生没有印象（但试图回忆起来），部分学生印象不深，正在回忆之中，而另有学生印象比较深刻。随即就有若干学生欣喜的喊出：“构造直角三角形”复习旧知，揭示知识间相互联系，启发学生用同一方法解决不同问题，让学生感觉对数学方法和数学思想的学习显得更为重要肯定学生的成果，提问：当时，直角三角形是如何构造的？你还有印象吗？你能构造直角三角形重新解决这个问题吗？怎么样去构造直角三角形呢？学生齐答：过D点作分别x轴和y轴的平行线学生在教师的引导下已经开始具备自主探究的条件和能力，心中稍有数学学习的成就感，激发了学生的学习热情和学习欲望点D（2，4）到直线AB的距离DE打开多媒体课件下一页,提问：很好，如何求DE呢？用什么方法去求呢？几乎所有学生都有答案，教室开始沸腾，声音颇多：有人喊：“三角形相似”有人喊：“面积相等”学生心有感触，更为喜悦，学习激情进一步增强，自主探究的欲望更大，创造能力得到展现肯学生的想法，提问：相似也好，面积也好，都会跟线段的长度发生关系，你怎样去求线段的长？学生回答：求出点M和N的坐标？启发学生的思维，发挥学生的创造性进一步肯定学生的做法，问：怎样求点M和N的坐标呢？提问：你打算怎样去求呢？请动手试试。请两名学生板演，其余学生也着手探究。来回走动巡视，适时作好个别指导学生回答：先求直线AB的方程，再分别令x=2、y=4学生乙板演其做法，思路为：先求MD、DN后用勾股定理求出MN，再由⊿MED∽⊿DMN可得=，则可求出DE学生丙板演其做法，思路为：先求MD、DN后用勾股定理求出MN，再根据⊿DMN面积相等得到DE=让学生充分参与到数学教学的活动中来，使学生在具体的数学思维活动中掌握知识，感悟和领会数学思想，培养其分析问题、解决问题的能力小结对比这两种不同的计算方法，采用构造法计算量小聆听感受，明确选择的方法不同，计算量也不一样让学生亲自感悟体验，为下面的研究作准备 公式推导一般情况：设直线l：Ax+By+C=0（A≠0且B≠0），直线l外任意点P（x0，y0），POMNQxy则P到l的距离为d=此式对A=0或B=0也成立打开多媒体课件下一页，适当板书要点提问：我们能否借用这种构造法来求直线l外任意点P到l的距离呢？请试试。注意引导学生分析板书：设PQ⊥l于Q，设点M的坐标为（x1，y0），点N的坐标为（x0，y2）学生丁板演，其余学生自主探究，体会、感受公式的推导。学生丁的板书为：由Ax1+By0+C=0Ax0+By2+C=0得x1=－y2=－PM=∣x1－x0∣=∣－－x0∣=∣∣PN=∣y2－y0∣=∣－－y0∣=∣∣所以PQ===让学生在知识的发生发展过程中去体会、领悟知识，通过数学思维活动的参与，更能有利于学生对知识的掌握，教给学生探究问题的方法比教给学生知识更重要，新课程的观点就是让学生在活动中进行研究性学习，让课堂富有生命力板书学生的探究成果，并提问：此式是在A和B都不为零的情况下推出来的，那么对于A=0或B=0是否成立呢？学生经过片刻的思考，很容易得出结果，对于A=0或B=0的情况也可以用此式点到直线的距离完善思维，引起学生注意数学思维的严密性，培养学生严谨的数学态度，同时也告诉学生：研究问题可以先考虑一般情况，在验证特殊情况。 公式运用例1：求点P（－1，2）到下列各直线的距离①2x+y－10=0②3x=2打开多媒体课件下一页，讲授、板书、注意师生互动；板书解答过程是给学生作示范。注意强调：一定要先把直线方程化为一般式，在用公式计算聆听、理解、体会知识的应用，在师生相互交流中学会应用知识，学会规范答题。加强知识的巩固运用公式运用例2：求两条平行直线x+3y－4=0与2x+6y－9=0之间的距离。打开多媒体课件下一页，引导学生分析，注意启发学生思维，与学生互动，师生共同探究，培养学生分析问题、解决问题的能力，适时适当板书在教师引导下积极参与数学教学，在数学思维活动中进一步感受知识的应用，思维活动逐步深入，体会线线距离转化为点线距离的活动过程平行线间距离从思维上比点到直线的距离更深进一层，通过本例的教学，既培养学生转化的数学思想，也为平行线间距离公式的推导作好铺垫一般地，两平行直线m：Ax+By+C1=0n：Ax+By+C2=0（C1≠C2）间距离为d=打开多媒体课件下一页，适当板书探究问题，让学生自行研究平行线间距离，教师巡回走动，解决个别学生所遇到的问题，同时指出：一定要把直线方程化为x项和y项系数对应相同，再用公式计算尝试感受探究过程，在自主学习中感悟知识，学生的思维品质得到提高，对问题的认识在上一个层次。学生在平行线间距离的推导过程中体会自主学习的过程，其思维得到训练，提高了学生认识的广泛性和深刻性随堂练习：1.求点到直线的距离①P（3，－2）l：3x+4y=25②P（－2，1）l：3y+5=02.求平行线间距离①5x－12y－2=0与5x－12y+15=0②6x－4y+5=0与2y－3x=03.点M（5，0）到过原点的直线l的距离为3，求l的方程。打开多媒体课件下一页，请3至4名学生板演，其余学生自主练习，教师巡回走视，注意个别指导学生答题，自主练习，巩固应用知识，加深知识的识记加强训练、巩固应用、提高能力 例3：请建立适当的直角坐标系证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。与学生共同探讨，注意启发学生思维、引导学生分析，对坐标系的建立要抓住“垂直”和简化计算，可以让学生展开讨论建立方法，适时对比分析，使学生明确学生讨论、感受和领会建立坐标系的方法，感悟用代数方法研究几何问题的过程，领会几何与代数的对立统一性，体会代数方法处理几何问题的方便解析法的应用，几何代数化的应用举例，几何问题化为代数问题的转化思想，体会知识之间是相互联系的。课堂小结1.点到直线的距离d=2.平面上两点间距离d=3.解析法（几何代数化处理）打开多媒体课件下一页，调动学生的主体性，师生共同回忆所学内容，使学生明确所学内容回顾总结，明确本节课所学的基本内容明确所学基本内容，帮助学生整理知识板书设计点到直线的距离1.点到直线的距离例1：例3：（引例）问题：法一：例2：法二：2.平行线间距离3.解析法（几何代数化）教学过程设计说明 本课首先引用具体实例计算点到直线的距离，采用两种不同方法，而这两种方法凭学生已有的知识基础，在教师适时、适当的引导下学生能够通过自主探索而接受、掌握。第一种方法是综合利用直线方程、直线与直线垂直、两条直线的交点及平面上两点间距离等知识来解决的。从知识结构体系上讲，是已学知识的综合复习与应用；从能力上讲，是培养学生分析问题、解决问题的能力再现，符合认知发展规律。而第二种方法则是借助前面推导两点间距离公式的方法构造直角三角形，通过面积相等来计算点到直线的距离；从认知结构上看，承前启后，关键在于直角三角形的构造与等面积法的使用。为突破难点，教师逐步引导，对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，进而为学生自主推导点到直线的距离公式作好铺垫和准备。接着就是学生在引例的启发下自主探究推导出点到直线的距离公式。随后就是知识应用和巩固练习，在这其中，穿插了两个小插曲：第一，两平行线间距离公式的推导；第二，解析法在平面几何中的应用，进一步把学生的思维引向深入，有利于学生数学思维品质的养成。总之，本课所设计的教学过程遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中构建和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导”的启发式教学，“教师应尊重学生主体和主动的精神，开发学生的智能，使其形成健全的个性”，符合学生认知发展水平和心理发展规律的。