点到直线距离公式推导

如何在数学教学中培养学生的思维能力思维能力是数学能力的核心．而提高学生思维能力的关键就是逐步培养学生思维的深刻性、灵活性、独创性、广阔性、敏捷性和批判性．下面以人教社高二（上）数学教材第7．3节“两条直线的位置关系”中“点到直线的距离”为例，谈谈如何提高思维能力．一、善于用批判的眼光来审视教材，培养思维的批判性和独创性在引入本节教学内容后，提出问题：在指教坐标系中，已知点的坐标和直线的方程，怎样求点到直线的距离？生1：过点作直线的垂线，垂足为，然后先求出直线的方程，再由直线的方程与直线方程联立，解出点的坐标，再由两点之间的距离公式，求出线段的长，即为点到直线的距离。设点到直线的垂线段为，垂足为，由 可知直线的斜率为，依据点斜式可写出直线的方程，并由与的方程求出点的坐标；由此根据两点距离公式求出，得到点到直线的距离．教材中作了这样的解释“这个方法虽然思路自然，但是运算较繁”，面对教材的这一解释，在本节古今中外，凡是有杰出贡献的科学家，他们都有一个共同的特点—— 用辨证的、批判的眼光去观察周围的事物，通过自己的独立思考，发现新的问题．你是就此停下，按照教材去阅读、领会教材给出的证明方法，还是继续独立地去探究，能否用上面所介绍的方法比较简便地证明出点到直线的距离公式呢？那么就要研究上面的证法为什么运算比较繁，能否通过巧妙的变换使得运算变得简单呢？通过研究不难发现，上面的证法之所以比较繁，是由于要通过解方程组求出交点的坐标，然后再代入到两点间的距离公式进行计算，且这两个步骤运算都比较繁，要简化运算，就要尝试去避开这些较为复杂的运算．于是，只要围绕证明的目标，利用整体思想，直接构造以为元的方程，这一证法还是非常简便的．证法一：因为直线的方程为，由（Ⅰ）得（Ⅱ）把方程组（Ⅱ）中两式平方相加，得，．．二、领会教材给出的证明方法的实质，探求其他证法，培养思维的深刻性、敏捷性、灵活性 教材中给出的证明方法的实质体现了解析几何中常用的、重要的思想——化斜为直，即将不与坐标轴平行的线段长的问题转化成与坐标轴平行的线段（或坐标轴上的线段）长的问题．在学习了教材的证明方法后，为了加深对这一思想方法的理解，你也可以利用这一思想方法，探求其它证明点到直线的距离公式的方法．图1证法二：如图1，过作直线∥，设直线和分别交轴于点、，过M作直线于点，则就等于点P到直线的距离，记为．设直线的方程为，由于点在直线上，，．直线：．令，得；在直线：中， 令，得．．设直线的倾斜角为，则，且，说明：在证法二中，先将点到直线距离转化成过点的且与平行的直线与的距离，并通过特殊位置——轴上的线段 的长，利用三角函数解决了问题，体现化斜为直的思想．当然，也可以对证法二进行适当的变化来证明点到直线的距离公式，由兴趣的读者不妨去试一试．三、从其它角度入手，探求证明方法，以培养思维的广阔性在解决数学问题时，要善于多角度去思考问题，这样，不仅可能会有意想不到的收获，而且，对培养同学们的思维的广阔性、解题的综合能力也是非常有益的．图2证法三：如图2，过点P作PQ垂直于直线于点Q，设点Q的坐标为，则．由于向量是直线的一个法向量（直线的法向量是指与直线垂直的向量，详见教材阅读材料“直线与向量”），则向量与的夹角为或．由向量的数量积得，即， ．又因为点在直线上，所以，．所以点P到直线的距离为．说明：证法三通过构造向量的数量积轻松地证明了点到直线的距离公式，也体现了向量这一内容的基础性和工具性的地位．上面以点到直线的距离公式的证明为例，谈了提高思维能力的方法，在今后学习新知识以及解题过程中，要积极思考、勇于探索，养成良好的思维习惯和思维品质，以逐步提高自己的思维能力．向量与点到直线的距离公式的证明 点到直线距离公式是解析几何中的一个很重要的的公式，应用它可使很多求解面积问题得以简化，因此很多老师和学生更多的是重视它的应用，而对于公式本身的证明却未引起足够的重视，尽管教材中有“请研究一下如何用其他方法推导点到直线的距离公式。”提示语，但依然不能引起广大师生的足够重视，笔者以为：运用教材中知识推导课本上的基本公式，本身就是在做一道很典型的例题。因为对于一个公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对我们的思维来讲更具有价值。对于点到直线距离公式的推导，课本上是通过构造直角三角形利用三角形面积公式推导，这种证明方法的优点是容易想到，但在构造直角三角形需对直线的斜率进行讨论，下面笔者就把自己用平面向量知识推导点到直线距离公式的方法介绍给各位同仁，并列举几种其他的推导方法，供各位同仁参考。求证：点的距离为：.1由向量方法推导点到直线的距离公式证明：由直线方程：，可得直线方向量为n=(A,B)，设过点作直线垂线，垂足为，则向量n，即，所以且 又因为点在直线l上，所以就有：，，又因为A,B不同时为0，即：.这样处理，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的工具性。当然，解析几何作为一个内涵丰富的数学分支，它和其它数学知识也会有密切的联系，下面笔者列举另外几种推导方法：2用习题结论巧推点到直线距离公式老教材代数课本（人教版，下册.必修）第15页习题十五第6题：已知：，当即.上式实为柯西不等式的最简形式，很容易证明.故略去。 下面给出点到直线的距离公式的最简推导。已知则点到直线的距离即为点P到直线l上任意点所连结的线段中的最短线段.设直线l上任意一点，点P到直线l的距离为，则：＝，时等号成立。3用直线的参数方程推导点到直线距离公式证明：当时易验证公式成立，下证时的情形：（1）B>0时,过点P作直线L的垂线，垂足为H，则直线PH的标准参数方程为：OxyP’P将直线PH的参数方程代入直线L的方程得： ，解之得点H对应的参数（2）当时，直线PH的标准参数方程为：可得，MNPadb图14构造引理推导点到直线距离公式引理：如图1，直角三角形MPN中，，则点P到直线MN的距离d满足证明：由直角三角形的面积公式得：，即，即，所以MNPadb图2xXxyXxOXxLXx下面就用引理证明点的距离为：证明：当时易证公式成立.当时，如图2所示,过点 的两条直线,分别交直线、，则.＝所以