点到直线距离详案

11．4  点到直线的距离        教学目标：1．在老师引导下，联系向量知识推导点到直线的距离公式。2．会求两条平行线之间的距离.3．能应用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式解决一些简单问题。4．培养学生应用已有的知识探索和解决数学问题的能力。课前构思：“点到直线距离公式”是直线部分的重要公式,而其推导是个难点，学生较难想到书上的方法，因此如何切入，引导学生自己用向量的方法解决着这个问题是个难点。我考虑了很久，首先想到(Q是直线上任意一点)就是在直线l法向量方向上投影的绝对值，即为点P到直线l的距离d。但学生对投影的概念熟悉度不高，很难联想到，我决定从其他地方突破。考虑到学生刚学过向量，对向量平行的充要条件非常熟悉，所以我决定利用学生熟悉的知识：作为切入点。引导学生自己推出点到直线的距离公式。接下去是例题的安排，由于是新课重在熟悉公式，例题的选取要避免喧宾夺主。因此我将原先的题目“”改为“设原点（0，0）到直线距离d(a),求d(a)的最大值。”将改为：“直线ｌ经过点M（2，3）,且被两条平行直线所截得的线段长为1，求这条直线ｌ的方程。”这样避免了夹角公式的烦琐计算，从图中直接就读出了直线方程，从而突显出平行线之间的距离公式。教学过程：一、实际问题引入：某供电局计划年底解决A地区最后一个村庄的用电问题。 经过测量，按部门内部设计好的坐标图（即：依供电局为原点，正东方向为X轴的正半轴，正北方向为Y轴的正半轴，长度单位为1千米），得知这个村庄P的坐标是（15，20），离它最近的只有一条线路通过，其方程为4x+3y-12=0,问要完成任务，至少需要多长的电线？P教师问：怎样拉电线才能使所需的电线最短？学生答：过P作直线4x+3y-12=0的垂线段PQ垂足为Q，电线从Q拉向P可使所需的电线最少。Q0教师小结：那么这个问题转化为求直线外一点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d。（幻灯片打出课题：11.4点到直线的距离）二、推导点到直线的距离公式教师引导：请同学分析距离d可能和哪些量有关？学生答：可能与x0,y0，A，B，C有关。教师追问：两条直线，那么d与学生回答：有关！教师启发：能否用向量知识来处理这个问题？提示：向量学生回答：教师追问：能否再找到一个直线的法向量？学生回答：教师再次启发：能否利用学生： 教师追问：若Q不是垂足，而是直线上任意一点，那么是否依然成立？PQ学生讨论探索得到：依然成立！因为就是在法向量方向上的投影的绝对值，即为点P到直线l的距离d。请学生上黑板解决上述电线的问题。（教师点评）练习：学生回答：三、问题二：求两条平行直线之间的距离d.学生自己分析：因为平行线之间距离处处相等，所以在一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，即为两条平行线之间的距离。从而得到两条平行之间的距离公式为四、问题三：（点到直线距离公式的简单应用）：设原点（0，0）到直线距离d(a),求d(a)的最大值.学生答：d(a)=3。 再让学生从几何意义角度讨论此题。五、问题四：（平行线距离公式的应用）直线ｌ经过点M（2，3）,且被两条平行直线所截得的线段长为1，求这条直线ｌ的方程。学生解：学生另解：教师问：为什么两位不同解，后一位同学一解，前一位两解？学生顿悟：从图象上可知过直线外一点有两条直线与已知直线夹角相等，所以他一定漏解了。后一位同学用点斜式设直线方程，就假设直线斜率存在了，而另一条直线之所以遗漏了就是因为它斜率不存在！所以另一条直线为x=2学生小结。课后反思：这节课引导学生利用他们熟悉的“向量平行的充要条件”推导“点到直线的距离公式”，比较自然顺畅，易于联想，基本以学生为主体，体现了二期课改以向量解决直线问题的思想，体现了老师引导，以学生为本的思想。但课后例题的编排还显粗糙和匆忙，有待改善。.因此在以后的教学中我要不断的积累经验,不断的反思和探索,使自己的教学水平不断地加强。