高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

个人收集整理勿做商业用途点到平面距离的求法求距离是立体几何中的重要题型，也是高考命题的热点。就人教版高中第二册下(B）第52—55页所讲的四种距离：点到平面的距离,线到平面的距离，平行平面的距离，异面直线的距离。而上述提到的四种类型的距离通过转化都可变成点到直线的距离。而这也是新课标必修2中第二章的一个重点和难点问题。据此，我们就来研究一下点到平面的距离的求法。（1）直接法由点到平面的距离可知，只需找到点在平面内的射影，它到射影的距离即为所求.为此，只需将它放在某一三角形中求解即可.例1：如图,已知ABCD为菱形，△PAD为边长是2的正三角形，PB⊥AD,侧面PAD与平面ABCD所成的二面角为120°，求点P到平面ABCD的距离。解:过P作PO⊥平面ABCD于O，过O作OE⊥AD于E，连接PE,由三垂线定理得:PE⊥AD∠PEO为二面角的补角，即∠PEO=60°在Rt△PEA中，PE=在Rt△POE中，PO=PESin60°=即P到平面的距离为.例2：如图,已知ABCD为梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a，AD=2a,P是平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，且PA=a，求点A到平面PCD的距离 个人收集整理勿做商业用途分析:要找点A到平面的距离，只需找A在平面的射影，求出长度即可.连接AC，即证平面PAC⊥平面PCD。所以只需过A向交线PC作垂线即垂直于平面PCD。解:连接AC，∵AB=BC=a,AD=2a，且ABCD为直角梯形∴AC=CD=a,即AC2+CD2=AD2∴AC⊥CD。又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD∴CD⊥平面PAC，CD平面PCD∴平面PAC⊥平面PCD。过A作AE⊥PC，则AE⊥平面PCD所以AE的长度即为A到平面PCD的距离。在Rt△PAC中，AE=a即为所求。(2)间接法把不易求的点到平面的距离转化为易求的点到平面的距离或利用等体积转化的方法求解不易求的点到平面的距离。如上例2：要求点A到面PCD的距离，可利用等体积转化的方法。即VA-PCD=VP-ACD.设h为A到平面PCD的距离，则.即∴即为所求.再如例3：在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD，E是PA 个人收集整理勿做商业用途的中点,求点E到平面PBC的距离。思路1：AP和平面PBC相斜交，且E是PA的中点，故点E到平面PBC的距离可转化为A到平面PDC距离的一半。易证平面PCB⊥平面ABCD，所以过A作BC的垂线交BC于F，AF即为A到平面PBC的距离。在正三角形ABC中,易知AF=，所以点E到平面PBC的距离为。思路2：连接AC，过E作EO∥PC交AC于O,则O为AC中点,EO∥平面PBCE到平面PBC的距离可转化为O到平面PBC的距离.所以只需过A作OG⊥BC于G，则OG=AF=为所求。思路3：等体积法设E到平面PBC的距离为h即∴即为所求。对于初学者来说，要掌握直接法是不容易的，而利用间接的方法就显得非常的方便。在高考题中凡是有关点到平面距离的题目大部分都能利用间接等体积转化的方法.故这种方法一定要掌握好.