《点到直线的距离》教学设计广东省珠海市斗门区第一中学黎跃友一、设计理念依据现代几何教育理念，本课的设计思路：直观感知（图片欣赏）→操作确认（学生作图）→推理论证（三种方法推导公式）→度量计算（例题练习）。两个原则：（1）树立发展学生为本的思想，通过构建以学习者为中心，有利于学生主体精神，创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索的机会，亲身参与公式的的探究过程；（2）坚持协同创新原则，把教材创新、教法创新及学法创新有机地统一起来。首先是教材创新，新课标下的教材执行赋予教师更大的创新空间。通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用其次是教法创新，采用多种教学方法的有机结合，既有启发式、类比发现式的教学方法，又有探究式及情感教学法。最后是学法创新，在整个学习过程中，在问题的引导下，让学生保持强烈的好奇心和求知欲，通过观察、分析、归纳来获取知识，有意识地创造学生感兴趣的氛围，使学生全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。二、教材分析点到直线的距离是普通高中课程标准实验教科书数学《必修2》第三章第3节“直线的交点与距离公式”中的重要知识点。教材按照“提出问题（如何求点到直线的距离）、解决问题（推导公式）、应用公式”的线索展开研究，既是直线方程应用的延续，又是坐标法这一核心知识的发展，同时还是充分展现用代数方法研究几何问题优越性的载体。作为直线方程的一个应用，公式的推导过程蕴涵了丰富的数学思想方法，转化思想，数形结合，分类讨论，属于具有较高思维价值和探究价值的教学内容。三、学情分析《点到直线的距离》教学设计第6页共6页
（1）知识能力状况，本节为两线位置关系的最后一个内容，在这之前学生已经系统的学习了直线方程的各种形式，有对两线位置关系的定性认识和对两线相交的定量认识，为本节推证公式涉及到直线方程、两线垂直、两线交点作好了知识储备。同时学生对解析几何的实质中，用坐标系沟通直线与方程的研究办法，有了初步认识，数形结合的思想正逐渐趋于成熟。基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．（2）心理特点：又见“点到直线的距离”（初中已学习定义），学生既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探询动机由此而生。四、教学重、难点及目标解析根据班级生源较好，我把教学重难点和三维目标定制如下：教学重点：点到直线的距离公式推导和应用。教学难点：点到直线的距离公式的推导。知识培养目标：在经历发现推导公式的基础上，理解推导方法，掌握公式特点，学会公式的运用。情感教育目标：让学生在问题的探究与解决中体验数学的魅力，感受解决问题的愉悦，有效培养勇于探索、善于研究的精神，培养其良好的数学学习品质，激发学生学习数学的热情。能力培养目标：让学生在对教学过程的充分参与中，体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，从而有效培养学生分析、探究能力、灵活运用公式能力及用解析法分析解决问题的能力。通过问题的多解教学培养学生发散性思维品质。五．教学问题诊断分析本节课有两个难点需要加以突破：一是公式推导的思路的发现。因为学生对坐标法接触时间不长，运用水平还十分有限，教师必须着力精心创设良好的思维情景才能让学生发现问题解决的思路；二是找到求解思路后，推导公式需要进行较为烦琐的运算和化简过程，这一过程学生没有耐心计算往往放弃，这可以让学生课后做为作业来补充。六、教学策略与手段1．根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生分组讨论、合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学能力。2．采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。3．教师进行教学设计、准备课件，搜集资料。《点到直线的距离》教学设计第6页共6页
七．教学过程设计（一）．复习旧知、引入新课问题1、上节课我们学习了平面上两点之间的距离公式。这个公式的形式是怎样的？它是怎样推导的？如何应用？设计意图：一为推导公式（转化为点点距）打伏笔，二为新知识提供一个“最近发现区”三为学生提供一个知识生长点，四是点出这部分内容涉及到的核心方法——坐标法。问题2、距离是几何中的一项重要内容。你认为，除两点间的距离外，平面几何中还应该有哪些距离？设计意图：让学生自己发现问题，提出问题，让学生在对教学活动的参与中引出本节课要研究的新课题，教自然地导入新课。（二）．创设情景，知识发展。问题3、在初中点到直线的距离是怎样定义？设计意图：通过回忆初中对点到直线距离的定性作图，新旧联系，以旧引新，为距离的定量描述做好铺垫。问题4、解析几何中，你认为要求得点到直线的距离，需要拥有哪些条件？设计意图：让学生感悟解析法的特点，进一步了解用代数方法研究几何问题的手段与方法。问题5、如何在知道点P坐标和直线方程的情况下求得P到该直线的距离？（1）．求点P（3,4）到轴和到轴的距离（2）．求点P（3,4）到直线：的距离（3）．求点P（3,4）到直线：的距离设计意图：从简单问题入手，让学生能沿着教师设置的高而可攀的梯子拾级而上，在由特殊到一般、由抽象到具体的思维活动过程中提出问题，并逐步解决问题。问题6、上面问题的问题都很特殊，你能由此提出一个更据一般性和挑战性的问题吗？设计意图：把提问的主动权也交给学生，让学生提出下面问题：已知点，求点P到直线之间的距离。教师引导：这是本节课我们要彻底解决的核心问题。我们不能总用最原始的方法解决问题。怎么办？推导公式。师生互动：《点到直线的距离》教学设计第6页共6页
让学生先用2-3分钟的时间把图画出来，直观感受和学会转化要解决的问题，得到就是求线段的长度。然后用4-5分钟按照平时习惯分小组探究问题，学生经历自主探究后，每组派代表讲解解决问题的步骤，教师或用实物投影或用电脑演示或板书各种思路，并引导学生对其可行性进行分析；体会到其中蕴含的数学思想方法。设计意图：这一环节预期达到以下目的：1、通过多种方法的呈现，使学生逐步体会到用数形结合，转化、函数等数学思想解决问题的方法，提高学生发散思维。2、在整个交流讨论中，教师既有对正确认识的赞赏，又有对错误见解的分析及对本人的鼓励，使学生在合作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦，学会合作，并在合作中懂得欣赏他人。3、教师在展示各种思路时，有意识的以程序框图的形式出现，融入算法思想，符合教材特点，为以后学习算法作铺垫，现时也发挥教师在教学中的主导作用。问题7、上面的推导方法清晰自然，大家都能想得到，但有点繁。有别的处理方法吗？设计意图：给学生探索的主动权，给学生在公式推导中自主创新的机会。用直角三角形中的等面积法来求。（要是学生探究的时间太长，公式推导计算过程可以留做作业完成）解：设，则与轴、轴都相交。如图，过点分别作两坐标轴的平行线交于R，S，则直线PR的方程为，R直线PS的方程为，S那么由得问题8、该公式推导中用到数学方法了吗？如果有，涉及到哪些？让学生感悟到：公式推导过程中不仅用到了化归、数形结合、分类讨论《点到直线的距离》教学设计第6页共6页
等十分重要的数学思想，还蕴涵着探索与创造，这使我们能感觉到数学的生机与乐趣。设计意图：引导学生从数学思想方法的高度来认识所参与的数学活动，可以使思维层次提升到一个新的高度。问题9、公式有哪些结构特征？公式在或者时还成立吗？公式的分子：保留直线方程一般式的风格，是将点的坐标代入直线方程后的绝对值，充分表明公式与直线方程有关。公式的分母：有点像距离公式，但是直线的一般方程系数的平方和。设计意图：让学生快速记住公式，同时让学生感受数学美。（三）．范例选讲，知识应用问题10、求点P（-1，2）到直线之间的距离。设计意图：让学生在刚刚学习新知后运用新知，同时进一步了解公式的适应范围。变式一、求点P（2，0）到直线之间的距离。变式二、求点P（1，1）到直线之间的距离。设计意图：（1）熟练掌握公式的用法。（2）让学生体会运用公式的简便快捷，还能发散学生的思维（3）让学生既能体会到公式适用的更广范围，又让学生发现一种判定点是否在直线上的新方法，同时也为判断三点共线问题拓展思路。问题11、已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求的面积师生活动：（1）怎样求三角形面积？需要具备那些条件？（2）你能否设计该问题的一个求解方案？（3）如何实施求解方案？有别的解法吗？解法1、求底、求高解决。解法2、用正弦定理求三角形面积，。解法3、利用两点间距离公式求出三边，再用海伦公式求面积。设计意图：让学生根据不同的求解方法，发散解决问题的思维。（四）．课堂小结知识建构（1）你这节课学到了什么？（2）通过以上的学习，你有哪些收获?(知识、能力、情感)。有哪些疑问?谁能答这些疑问?由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明《点到直线的距离》教学设计第6页共6页
设计意图：通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，巩固知识，明确方法。（五）．布置作业，强化与巩固（1）．用求垂足的方法推导点到直线的距离公式.（2）．请用本节课所学的内容推导两条平行线之间的距离公式.（3）．课本第110页A组第9题；B组第4题八．教学反思解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上。本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．另外还要加强根据已知条件求直线方程的教学。在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力。向量是一种重要的运算工具，根据我班学生的实际，本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法。实际上，在立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式。又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的推导方法，并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式。《点到直线的距离》教学设计第6页共6页
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