教学案例课题名称点到直线的距离（人教版高中数学第七章直线和圆的方程（第9课时））科目高中数学年级高二教学时间45分钟学习者分析高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识掌握较扎实、思维较活跃，但综合运用能力不强，处理抽象问题的能力还有待进一步提高。教学目标一、情感态度与价值观1.结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．2.培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。二、过程与方法1.、教学方法为启发引导法、讨论法。①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．2.、研究性学习方法。培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。三、知识与技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导教学资源（1）教师自制的多媒体课件；（2）上课环境为多媒体大屏幕环境。
教学过程教学活动1利用模型直观引入新课，激发学生的兴趣。1.导入新课（1）创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险．让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．现实模型：①地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离（图片欣赏）②生活实例（flash动画演示）回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？（2）.教师提出问题，引发认知冲突问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0,y0）和一条定直线l：Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。教学活动2 由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比较抽象，所以补充了5个由浅人深的具体问题，培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。．教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：(1)求P（2,3）到直线l：x=5的距离d;（答案：d=3）(2)求P（x0,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：）(3)求P（x0,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：）(4)求P（7,6）到直线l：4x-3y+5=0的距离d；（答案：d=3）(5)求P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。
2．教师启发引导，学生走出困境根据以上5位学生的运算结果，发现当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。P(x0,y0)Q图1练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？通过同学们思考，过点P作x、y轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得|PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS||PQ|=当A=0或B=0时，ΔPRS不存在，故应说明公式当A=0或B=0时是否适用？由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。教学活动3培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。 3、小组活动：推导点到直线的距离公式的方法不少。前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。10分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”交流。学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……学生交流“成果”，教师点评小结（实物投影仪）经过约十分钟的研讨，各小组都找到了新的推导方法。于是教师请4名代表依次上讲台（让准备成熟的先讲），借助实物投影介绍本组的“成果”。由于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过4分钟，且各组的方法不能重复。
方法①利用定义的算法思路方法学生分析解题思路，整理出算法框图．得到点到的距离确定直线的斜率求过点垂直于的直线的方程求与垂直的直线的斜率求与的交点求点与点的距离学生的回答可能会忽略这个条件限制，教师要给予纠正并强调直线的斜率是否存在，主要取决于分母是否为0，这也是对前面知识的巩固．对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论．
方法②利用直角三角形的面积公式的算法思路探索思考教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材的证明方法．方法③利用平面向量的算法思路···
教师点评：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是“巧夺天工”，与其他方法相比，这种方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应用。探索思考方法4利用函数的思想T(x1,y1)P(x0,y0)Q图2把它称为“柯西不等式法”我们知道，P点到直线l的距离,实质上是点P与直线l上任意一点T的距离的最小值，于是我们设T（x1,y1）为直线l上的任一点（如图2），则Ax1+By1+C=0，
而d=|PT|min，于是|PT|==×，利用柯西不等式，便有|PT|≥=，所以d=，此时，即PT垂直于直线l。教师点评：这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富。由点到直线的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“转化”中问题得到圆满解决。同时也体现了不等式的工具作用。教学活动4练习巩固公式应用（学生练习）（ppt）（1）求P（6,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d.（直接代公式得答案：d=1）（2）求P（-1,1）到直线l：的距离d.（先化直线方程为一般式再代公式得答案：）教学活动5归纳可以强化学习效果，布置作业，促进所学内容的迁移。教师小结并布置作业（ppt）这节课我们学习了点到直线的距离公式，在公式的推导中学到了许多重要的数学思想和方法，感受到了数学的奥妙，也感受到了成功的喜悦。其实这个公式的推导方法很多，许多同学有创造性的推导方法不能进行展示、交流，请同学们撰写一篇题为《点到直线距离公式的多种推导方法》的数学小论文，允许三到四人合作完成。教材13、14、16
设计说明数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。由于受应试教育的影响，前者往往被“轻描淡写”，而后者却搞得“轰轰烈烈”，这显然与“重结论，但更重过程”的现代教育理念相违背。其实数学公式的推导都蕴含着丰富的数学思想和数学方法，谁忽视了这个“产生过程”，谁就忽视了数学的“精髓”，谁就忽视了学生探究性思维品质的培养。对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；这节课把研究性学习引入公式的教学，让学生真正成为课堂的主人。在推导公式的过程中，学生通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼了意志，增强了信心。其实所有公式的教学、定理的教学都应向这个方向努力。数学教学，从根本上讲就是提高学生的数学素质，提高学生的数学素质的有效途径有二：其一，使学生善于总结，使零乱的知识系统化、综合化；其二，使学生善于联想，培养发散性思维。由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了四种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法．让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；利用函数的思想充分体现了不等式的工具作用。本节课使学会从不同的角度思考问题，加强知识间的联系，正是锻练、提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力，从而提高数学素质。通过公式求点到直线的距离并不困难，但这个公式的推导方法不下十种，且各种推导都蕴含着重要的数学思想、方法，由于课堂上时间紧，许多同学的有创造性的推导方法不能进行展示、交流，故课外请同学们撰写一篇题为《点到直线距离公式的多种推导方法》的数学小论文作为本节课的作业。考虑到同学的个体差异，故允许三到四人合作完成。同时通过学生小论文的完成情况对这节课的教学效果作出评价。本课设计有一定的弹性，实际教学中，学生想到的推导方法不一定是上述几种，我将针对每一种方法的特点进行适当的点评。进行交流的学生不一定是四人，若时间不够，公式应用留到下节课，本节课只完成公式推导。
微信/支付宝扫码支付