高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

平面点到直线距离点(x0,y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B)空间点到平面距离点(x0,y0,z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0,y0,z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z-zl)/p=t。(1)式(1)的注释：点(xl,yl,zl)是直线上已知的一点，向量(m,n,p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0,y0,z0)到直线L的垂点坐标为(xc,yc,zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t(2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl,yc=n*t+yl,zc=p*t+zl.(3)且有垂线方向向量(x0-xc,y0-yc,z0-zc)和直线方向向量(m,n,p)的数量积等于0，即： m*(x0-xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0(4)把式(3)代入式(4)，可消去未知数“xc,yc,zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0-yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p)(5)点(x0,y0,z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc,yc,zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2](6)其中xc,yc,zc可以用式(3)和式(5)代入消去。